《测圆海镜》圆城图式，其中用天地-{乾}-坤等指代三角形内各点]]

《测圆海镜》是中国金代数学家李冶的代表作，于公元1248年写成。全书一共十二卷，由一百七十个问题组成。书中对勾股容圆的问题进行了探讨，系统地建立了“天元术”（列一元方程的方法）来解决几何问题。《测圆海镜》被认为是中国现存的第一部天元术著作。
天元术是对具体问题列出方程而后求解的方法。天元术于宋金时期开始发展，到元朝达到一个高峰。在《测圆海镜》问世之前，中国虽有以天人代表未知数用以布列方程和多项式的工作，但早期著作已失，仅存被引用的一些片段。李冶在《测圆海镜》中系统而概括地总结了天元术，用“天元”代替未知数，列出方程，然后求解。

内容
《测圆海镜》由卷一的圆城图式、说明各个长度名称的总率名号、给出各个长度数值的今问正数、囊括了各个量之间关系的公式总集识别杂记；卷二至卷十二，共一百七十个问题及其解答所组成。书中一共有148问，182种方法是以天元术列出方程以求解，其中列出一次方程31个，二次方程106个，三次方程24个，四次方程20个，六次方程1个

卷一
圆城图式
圆城图式（右图）是全书的总括图解，由一个直角三角形（古时称为勾股形）、它的内切圆以及一些特定的点和直线组成。其中的顶点、圆心和交点都用某个汉字来指代。最大的三角形的三个顶点分别是天、地、-{乾}-，天地-{乾}-三角形的内切圆圆心称为心。过心的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于日、南、北三点。过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点。过东的垂直线和过南的水平线都是内切圆的切线，它们分别交天地-{乾}-三角形于艮、坤、山、月四点，而相交于巽点。-{乾}-坤巽艮构成一个正方形。过月的垂直线交东西水平线于青点，交地-{乾}-边于泉点。过山的水平线交南北垂直线于朱点，交天-{乾}-边于金点。而这两条线相交于泛点。最后过日的水平线交天-{乾}-边于旦点，过川的垂直线交地-{乾}-边于夕点。总共22个点。

总率名号
全书所研究的三角形一共有15个，全部是以天地线之间的线段为弦（斜边）的直角三角形。总率名号给出了这些三角形和线段的名称。它们分别是：

其中弦是三角形斜边，股是三角形的长直角边（这里是竖直的），勾是三角形短直角边（这里是水平的）。（a_{1}代表通勾，b_{1}代表通股，c_{1}代表通弦，余类推）。

今问正数
今问正数一节给出了圆城图式中每个线段的长度。其中以内切圆的半径为120步，作为标准。

• 弦
• 勾
• 股
• 勾股和：a + b
• 勾股校：b - a
• 勾弦和：a + c
• 勾弦校：c - a
• 股弦和：b + c
• 股弦校：c - b
• 弦校和：c + (b - a)
• 弦校校：c - (b - a)
• 弦和和：(a + b) + c
• 弦和校：(a + b) - c

例子:「通弦六百八十，勾三百二十，股六百；勾股和九百二十，较（兩者的差）二百八十；勾弦和一千，较三百六十；股弦和一千二百八十，较八十；弦较和九百六十，较四百；弦和和一千六百，较二百四十。」

15个勾股形中上高 = 下高；上平 = 下平，因此，15个勾股形中，只有13个勾股形是相异的。

《今问正数》共15个勾股形×13项=195项。
，列表如下。

识别杂记
识别杂记都是关于不同线段之间的几何关系式。一共给出了692个公式。是全书的纲领。

识别杂记包含八项：
*诸杂名目：是全书的总纲，列出各项定义，例如虚勾虚股相得名为虚率，高股平勾差名为角差，又名远差等等。诸杂名目中还列出三十余项定理，如凡大差小差相乘为半段径幂，大差勾小差股相乘同上、黄广股黄长勾相乘为经幂等等。
名目
杂用公式

(c_{1}-a_{1})(c_{1}b_{1})= 1 \over 2*(d_{1})^2

a_{10}*b_{11} = 1 \over 2(d_{1})^2

a_{13}*b_{1} = 1 \over 2(d_{1})^2

a_{1}*b_{13} = 1 \over 2(d_{1})^2

b_{2}*b_{15} = (r_{1})^2

a_{14}*a_{3} = (r_{1})^2

a_{5}*b_{4} = (d_{1})^2

a_{8}b_{6} = a_{9}b_{7}=(r_{1})^2

(b_{14}c_{14})(a_{15}+c_{15}) = (r_{1})^2

c_{6}c_{8} = c_{7}c_{9})=a_{13}*b_{13}

#

五和五较

a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}

a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}

a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}

a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}

a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}

a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}

a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}

a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}

a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}

a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}

a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}

a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}

a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}

a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}

此外还有诸弦，大小差，诸差，诸率互见，四位拾遗，拾遗。

一共692关系式，这些关系式完全是几何定理，与具体数值无关。

举例：第三条中“勾股和即弦黄和”一句就是：三角形两直角边之和等于斜边加上内切圆直径（“黄”指内切圆直径）。这个命题可以由直角三角形的勾股定理推出：
:设直角三角形三边分别为a、b、c，其中a^2+b^2=c^2
:内接圆直径d = \frac{2ab}{a+b+c}，因此
:内接圆直径 + 斜边 = d + c = \frac{2ab}{a+b+c} + c = \frac{2ab + c^2 + ac + bc}{a+b+c}
:= \frac{2ab + a^2 + b^2 +ac + bc}{a+b+c} = \frac{(a+b)(a+b+c)}{a+b+c}
:= a+b = 两直角边之和

后面出现的各问题，都根据这些公式中的相等关系而列出方程，然后求解。

李冶的692个公式中，有8个是错误的，只是因为数值吻合而被误认为成立。

新设第一率
新设第二率
新设第三率
新设第四率
第二卷
:正率14问

从第二卷开始，《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题，它们都是围绕着同一个题设背景而展开。
在第二卷开头，李冶作出了以后题目公用的总假设：

这里的圆城就是指天地-{乾}-三角形的内切圆，其方向按照圆城图式里面东南西北四个点的位置而定（注意北在下方，东在左边，与现在通用的方位相反），所谓的“-{乾}-地”、“坤地”则是指圆城图式里面出现的-{乾}-点、坤点等等。以后的每个问题中要求的长度都是圆城的半径或直径。

接下来的问题都是已知某些线段的长度，问圆城的半径或直径。李冶在每一题的题目之后都先写出解法（代数演算），再给出演草（代入数值的计算）。

;洞渊九容
开头十个问题，不需要天元方程。清代数学李善兰认为，第一个问题和《九章算术》的勾股容圆题目一样，第二问至第十问就是《自序》中提到的“洞渊九容”。但李冶原书或《四库全书》李锐较本都没有这九个问题的细草，李善兰在《天算或问》一书中根据相似三角形原理求得各式，并以第二问为例阐明如下：

:{a_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}
:{b_{1} \over b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over b_{2}+c_{2}}
又因：
:b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}
所以
:{2b_{1}c_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={2b_{2}c_{2} \over b_{2}+c_{2}}
:得
:{2a_{2} \times b_{2} \over a_{2} + b_{2}+c_{2}}=d

其余类推。
。
;第一问：或问：甲乙二人俱在-{乾}-地，乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙，问径几里？
:答曰：城径二百四十步。

勾股容圆d={2a_{1} \times b_{1} \over a_{1} + b_{1}+c_{1}}
:={2 320 600 \over 320 +600 +\sqrt(320^2+600^2)}=240

;第二问：勾上容圆

{2a_{2} \times b_{2} \over a_{2} + b_{2}+c_{2}}=d
;第三问：股上容圆
{2a_{3} \times b_{3} \over a_{3} + b_{3}+c_{3}}=d
;第四问：勾股上容圆
{2a_{12} \times b_{12} \over c_{12}}=d
;第五问：弦上容圆
{2a \times b \over a+b}=d
;第六问：勾外容圆
{2a_{10} \times b_{10} \over b_{10} - a_{10}+c_{10}}=d
;第七问：股外容圆
{2a_{11} \times b_{11} \over b_{11} - a_{11}+c_{11}}=d
;第八问：弦外容圆
{2a_{13} \times b_{13} \over b_{13} + a_{13} -c_{13}}=d
;第九问：勾外容圆半
{2a_{14} \times b_{14} \over c_{14} - a_{14}}=d
;第十问：股外容圆半
{2a_{15} \times b_{15} \over c_{15} - b_{15}}=d
;天元术

从第十四题开始，引入天元术，将所求的未知量设为“天元”，然后根据识别杂记中给出的公式构造出两个天元式，另其相等，然后解方程得出答案。《测圆海镜》中天元式的次序，高次幂在常数项之上，和《益古演段》，《四元玉鉴》的相反。

;第十四问
“或问出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问答同前”。
:法曰：以二行步相乘为实，二行步相并为从，一步常法，得半径。
:草曰：立天元一为半径，置南行步在地，

内减天元半径得股圆差：480-x

:::::::::::元
:::::::::。

又置乙东行步在地，内减天元，得勾圆差：200-x
:::::::::元
::::::::

以勾圆差增乘股圆差得半段黄方幂：x^2-680x+96000
:::::::::::
:::::::::元
:::::::

又置天元幂以倍之，也为半段黄方幂；

:::::::::
:::::::::元

因此，得x^2-680x+96000=2x^2

相消得：-x^2-680x+96000=0

:::::::::::
:::::::::元
::::::::

解方程，得半径 r=120。

第三卷
:边股17问

第四卷
:底勾17问：已知a_{3}及另一边求直径d.
。

第三卷边股问与第四卷同次第底勾问成对偶。

第五卷
大股18问：已知b_{1}。

第八卷
:边股17问：已知 三至八边，或其差，和，求直径d.

第十四问
: 或问：高差，平差并一百六十一步，明差叀差并七十七步，问答同前。

: 即：

草曰：

已知
: (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161
: (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77

: 相加除2 ; 根据#杂用公式，等于皇极差：

:(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2 =(b_{12}-a_{12})

: b_{12}-a_{12}=161 + 77 \over 2=119
: 设天元一为上平勾：

: x=a_{8}
: x+ 161 =x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})
:::: =b_{7} (杂用公式)
: 因为 a_{8}+b_{7}=c_{12} (杂用公式)
:c_{12}=x+b_{7}=2x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2x+161
:c_{12}^2=(x+b_{7})^2=(2x+161)^2=4x^2+644*x+25921

:c_{12}^2-(b_{12}-a_{12})^2
:=4x^2+644x+25921-((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^2 \over 4
:=4x^2+644x+11760=d(圆城直径),
:d^2=(4x^2+644x+11760)^2=16x^4+5152x^3+508816x^2+15146880x+138297600
:将 4*x乘下高股
:4xb_{7}=4x(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4x( x+ 161)=4x^2+644x
:乘之以皇极弦幂:
:d^2=4xb_{7}c_{12}^2=(4x^2+644x)(4x^2+644x+25921)=16x^4+5152x^3+518420*x^2+16693124
:因此
:16x^4+5152x^3+518420x^2+16693124=16x^4+5152x^3+508816x^2+15146880*x+138297600
:左右相消得：
9604x^2+1546244x-138297600=0
:解之得 x=a_{8}=64;

: 正合#今问正数中的下平勾。

第九卷上
：大斜四问

第九卷下
：大和8问
:边股17问：已知三边，求直径d。

第十卷
：三事和8问

第十一卷
: 杂糅18问：

第十七问，十八问取自《洞淵算书》。

第十二卷
: 之分14问

版本
天元术并非李冶的独创，而是从金代起便在中国北方开始萌芽。据祖颐在《四元玉鉴后序》中的记载，李冶以前研究天元术的学者有北宋蒋周撰《益古集》、李文一撰《照胆》，石信道撰《钤经》、刘汝谐撰《如积释锁》等书，世人才知道有天元。此外朱世杰《四元玉鉴》引用北宋《洞渊九容细草》两道题，其中有“立天元一”。后来李德载撰《两仪群英集臻》兼有地元。1306年元刻本《阴阳备用三元节要》三卷下有天元，地元。但是这些早期天元术的著作已经失传。宋代《杨辉算法》保留蒋周《益古集》的一些条段法的题目，没保留天元术的内容。现存元刻本《阴阳备用三元节要》只有一条二元术题，《测圆海镜》是现存最早的系统地讲述天元术的著作。

到了明代，天元术因为艰深难懂而少人研究，几近失传。明代唐顺抄录过《测圆海镜》，但不懂天元术；顾应祥曾经撰写《测圆海镜分类释术》，但完全没有明白天元术中天元为未知数的含义，因而将《测圆海镜》中关于立天元列方程的演算全部删去，只留下用开方术解方程的过程，以便后人学习。李俨认为宋金元发展起来的天元术至此已被遗忘。《测圆海镜分类释术》一书，虽然删除了天元术内容，但保存了全部算题，也补入正确的几何学解法，使得几近失传的《测圆海镜》，得以从新流传。

十八世纪时，随着西洋算学传入中国，李冶等人的天元术著作才被后来的数学家重新发现。戴东原从《永乐大典》中辑录出李冶《测圆海镜》；清朝梅瑴成（梅文鼎之孙）曾经研读元学士李冶的《测圆海镜》，对其中的天元之术感到不解，后来在研习西方的“借根方”法时发现所谓的“借根”就是“立天元”（都是设未知数），方才重新开始认识天元术。之后，《四元玉鉴》等其它天元术著作也被重新认识。孔广森曾校对《测圆海镜》中的四章。-{乾}-隆三十八年（1773年），《四库全书》收录了李潢家藏本的《测圆海镜》。1798年，清代大藏书家鲍廷博刊印的《知不足斋丛书》中收录了李锐校勘的《测圆海镜细草》十二卷。之后又有焦循和李锐在研究了《测圆海镜》、《益古演段》和《数书九章》后写的《天元一释》和《开方通释》两书，用较为明白的语言详细解释了李冶的天元术和秦九韶的正负开方术。1873年，张楚钟发表《测圆海镜通释》对《识别杂记》中的几百条定理，用几何方法逐条证明。

清代研究
1896年刘岳云出版《测圆海镜解》，发现《圆城图式》中各线段的简单加减关系，发表《诸率加减表》，此后李善兰出版《测圆海镜解》等。他在另一篇著作《天算或问》中给出勾股容圆各公式的统一公式。其后陈维祺发表《各率及较泛积表》将《识别杂记》用“泛积”概念统一表示。王季同在《九容公式》中进一步发展了陈维祺的成果，发现

:极勾=(高股 * 平勾 +平勾^2)^(1/2)
:极股=(高股 * 平勾 +高股^2)^(1/2)
:半径=(高股 * 平勾 )^(1/2)

国际研究
19世纪初，朝鲜数学家南秉哲著《海镜细草解》。

1913年，法国学者L.van Hoe 介绍《测圆海镜》。1982年，法国林力娜（K. Chemla)作论文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye，获得博士学位。1983年，新加坡大学教授蓝丽蓉发表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century,论述《测圆海镜》。

评价
清代数学家对《测圆海镜》给予很高评价。阮元认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”，李善兰称赞它是“中华算书，无有胜于此者”。白尚恕说，《测圆海镜》的成就，超过同时期的印度，阿拉伯和欧洲，“处于世界数学里遥遥领先的地位”

参考文献
引用
来源
; 书籍
*
*

参见

• 李冶《益古演段》
• 朱世杰《四元玉鉴》
• 李善兰
• 秦九韶算法