向量恆等式列表

:在這篇文章內，向量與其量值分別用粗體與斜體表示；例如，\left| \mathbf{r} \right| = r\,\! 。

這條目陳列一些常用的向量代數的恆等式。

三重積
*\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{C} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{A} = \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})
*\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times \mathbf{C}) = \mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times \mathbf{A}) = \mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times \mathbf{B})

其他乘積
*(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = A^2 B^2 - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2 = \mathbf{B} \cdot (\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{A}))

• \mathbf{\left(A\times B\right)\times}\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B\times D})\right)\mathbf{C}-\left(\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B\times C})\right)\mathbf{D}

乘積定則
*\mathbf{\nabla} (fg) = f(\mathbf{\nabla}g) + g(\mathbf{\nabla} f)
*\mathbf{\nabla}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = \mathbf{A} \times (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B})+\mathbf{B} \times (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A})+(\mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{B}+(\mathbf{B} \cdot \mathbf{\nabla})\mathbf{A}
*\mathbf{\nabla}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = (\mathbf{A} \times \mathbf{\nabla}) \times \mathbf{B}+ (\mathbf{B} \times \mathbf{\nabla}) \times \mathbf{A}+\mathbf{A}(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B})+\mathbf{B}(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A})
*\mathbf{\nabla} \cdot (f\mathbf{A})=f(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{A})+\mathbf{A} \cdot (\mathbf{\nabla} f)
*\mathbf{\nabla} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})=\mathbf{B} \cdot (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}) - \mathbf{A} \cdot (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B})
*\nabla\times (f\mathbf{A})=f(\nabla\times\mathbf{A})+(\nabla f)\times\mathbf{A}
*\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})= (\mathbf{B}\cdot\nabla) \mathbf{A} - (\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B} + \mathbf{A} (\nabla\cdot\mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla\cdot\mathbf{A})
*\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})= \mathbf{A} \times (\nabla\times\mathbf{B}) - \mathbf{B} \times (\nabla\times\mathbf{A}) - (\mathbf{A}\times\nabla) \times \mathbf{B} + (\mathbf{B}\times\nabla) \times \mathbf{A}
*\nabla\left(\frac{1}\right)= - \nabla'\left(\frac{1}\right)
= - \ \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}\right)
= - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}')

二次微分
*\nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{A}) =0
*\nabla\times(\nabla f) =\mathbf{0}
*\nabla^{2}(\nabla\cdot\mathbf{A})=\nabla\cdot(\nabla^{2}\mathbf{A})
*\nabla\times(\nabla\times \mathbf{A}) =\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}
:: 這裏，\nabla^2 \mathbf{A} 應被理解爲對 \mathbf{A} 的每個分量取拉普拉斯算子，卽向量值函数的拉普拉斯算子。

積分
*\oint_{\mathbb{S}}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\int_{\mathbb{V}}\left(\nabla \cdot \mathbf{A}\right)\mathrm{d}V （散度定理）
*\oint_{\mathbb{S}}\psi\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_{\mathbb{V}} \nabla \psi\, \mathrm{d}V
*\oint_{\mathbb{S}}\left(\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{A}\right)\cdot\mathrm{d}S=\int_{\mathbb{V}}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)\mathrm{d}V
*\oint_{\mathbb{C}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}=\int_{\mathbb{S}}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)\cdot \mathrm{d}\mathbf{S} （斯托克斯定理）

*\oint_{\mathbb{C}}\psi d\mathbf{l}=\int_{\mathbb{S}}\left(\hat{\mathbf{n}}\times\nabla\psi\right)\mathrm{d}S

格林恆等式
*格林第一恆等式： \int_\mathbb{U} (\psi \nabla^2 \phi+\nabla \phi \cdot \nabla \psi)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \psi{\partial \phi \over \partial n}\, \mathrm{d}S
*格林第二恆等式： \int_\mathbb{U} \left( \psi \nabla^2 \phi - \phi \nabla^2 \psi\right)\, \mathrm{d}V = \oint_{\partial \mathbb{U}} \left( \psi {\partial \phi \over \partial n} - \phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\, \mathrm{d}S
*格林第三恆等式：\psi(\mathbf{x} ) - \int_\mathbb{U} \left[ G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \nabla'^{\,2} \psi(\mathbf{x}')\right]\, \mathrm{d}V'= \oint_{\partial \mathbb{U}} \left[\psi(\mathbf{x}') {\partial G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) \over \partial n'} - G(\mathbf{x},\mathbf{x}' ) {\partial \psi(\mathbf{x}') \over \partial n'} \right] \, \mathrm{d}S'

參閱
*格林恆等式
*數學恆等式列表 ()
*向量微積分恆等式 ()

List of vector identities