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信賴區間

Wikipedia · 2025-07-04 维基百科 👁 1 阅读

在统计学中，一个概率样本的置信区间（，），是对产生这个样本的总体的参数分布（）中的某一个未知母數值，以区间形式给出的估计。相对于点估计（）用一个样本统计量来估计参数值，置信区间还蕴含了估计的精确度的信息。在现代机器学习中越来越常用的置信集合（）概念是置信区间在多维分析的推广。

置信区间在频率学派中间使用，其在贝叶斯统计中的对应概念是（）。两者建立在不同的概念基础上的，贝叶斯统计将分布的位置参数视为随机变量，并对给定观测到的数据之后未知参数的后验分布进行描述，故无论对随机样本还是已观测数据，构造出来的可信区间，其可信水平都是一个合法的概率；而置信区间的置信水平，只在考虑随机样本时可以被理解为一个概率。

定义
对随机样本的定义
定义置信区间最清晰的方式是从一个随机样本出发。考虑一个一维随机变量{\cal X}服从分布{\cal F}，又假设\theta是{\cal F}的参数之一。假设我们的数据采集计划将要独立地抽样n次，得到一个随机样本\{X_1,\ldots,X_n\}，注意这里所有的X_i都是随机的，我们是在讨论一个尚未被观测的数据集。如果存在统计量（统计量定义为样本X=\{X_1,\ldots,X_n\}的一个函数，且不得依赖于任何未知参数）u(X_1,\ldots,X_n),v(X_1,\ldots,X_n)满足u(X_1,\ldots,X_n)使得：

: \mathbb{P}\left(\theta\in\left(u(X_1,\ldots,X_n),v(X_1,\ldots,X_n)\right)\right)=1-\alpha

则称\left(u(X_1,\ldots,X_n),v(X_1,\ldots,X_n)\right)为一个用于估计参数\theta的1-\alpha置信区间，其中的，1-\alpha称为置信水平，\alpha在假设检验中也称为显著性水平。

对观测到的数据的定义
接续随机样本版本的定义，现在，对于随机变量{\cal X}的一个已经观测到的样本\{x_1,\ldots,x_n\}，注意这里用小写x表记的x_i都是已经观测到的数字，没有随机性了，定义基于数据的1-\alpha置信区间为：

: \left(u(x_1,\ldots,x_n),v(x_1,\ldots,x_n)\right)

注意，置信区间可以是单尾或者双尾的，单尾的置信区间中设定u=-\infty或者v=+\infty，具体前者还是后者取决于所构造的置信区间的方向。

初学者常犯一个概念性错误，是将基于观测到的数据所同样构造的置信区间的置信水平，误认为是它包含真实未知参数的真实值的概率。正确的理解是：置信水平只有在描述这个同样构造置信区间的过程（或称方法）的意义下才能被视为一个概率。一个基于已经观测到的数据所构造出来的置信区间，其两个端点已经不再具有随机性，因此，类似的构造的间隔将会包含真正的值的比例在所有值中，其包含未知参数的真实值的概率是0或者1，但我们不能知道是前者还是后者。

例子
例1：正态分布，已知总体方差\sigma^2
1-\alpha水平的正态置信区间为：
: \left( \bar{x}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) (双尾)
: \left( -\infty, \bar{x}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) (单尾)
: \left( \bar{x}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, +\infty \right) (单尾)

以下为方便起见，只列出双尾置信区间的例子，且区间中用"\pm"进行简记：

例2：正态分布，未知总体方差\sigma^2
1-\alpha水平的双尾正态置信区间为：
: \left( \bar{x}\pm t_{n-1;\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right)

例3：两个独立正态样本
設有兩個獨立正態樣本x和y，样本大小为m和n，估计总体均值之差\mu_1-\mu_2，假设总体方差未知但相等：\sigma_1=\sigma_2(如果未知且不等就要应用来确定t分布的自由度)
1-\alpha水平的双尾正态置信区间为：
: \left( \bar{x}-\bar{y}\pm t_{m+n-2;\alpha/2}\cdot s_p\cdot \sqrt{\frac1m+\frac1n} \right)，其中s_p=\sqrt{\frac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2}{m+n-2}}且s_x,s_y分别表示x和y的样本标准差。

常見誤解
信賴區間及信心水準常被誤解，出版的研究也顯示出既使是專業的科學家也常做出錯誤的詮釋。

  • 以95%的信賴區間來說，建構出一個信賴區間，不代表分佈的參數有95%的機率會落在該信賴區間內（也就是說該區間有95%的機率涵蓋了分佈參數）。 內曼本人（信賴區間的原始提倡者）在他的原始論文提出此點：

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参考书目

#统计学 #市場調查 #计量经济学 #选举学 #生物统计学 #測量学

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