波矢

波向量是波的向量表示方法。波向量是一个向量，其大小表示波数（k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda），其方向表示波传播的方向。

波向量在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。

定义
波长λ可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到，这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的。]]

波矢有两种常见的定义，区别在於振幅因子是否乘以2\pi，两种定义分别用於物理学和晶体学以及它们的相关领域。

物理学定义
理想的一维行波遵循如下方程：
:\psi(x,t) = A \cos (k x - \omega t+\varphi)
其中：
*x为位置；
*t为时间；
\psi（x和t*的函数）是对波进行描述的扰动（例如对於海浪，\psi是超出水面的高度；对於声波，\psi是超气压）；
*A是波的振幅（振动的峰值）；
*\varphi是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度；
*\omega是波的角频率，描述了在一个给定点波振动的快慢程度；
*k是波数，与波长成反比，由k=2\pi/\lambda求出。

此波在+x方向上行进，相速度为\omega/k。

推广到三维情况下，方程为：
:\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \omega t + \varphi \right)
其中：
*r是三维空间中的位置矢量；
*\cdot 是矢量点积；
*k是波矢。

这一方程描述了平面波。一维情况下，波矢的大小是角波数|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda。波矢的方向是平面波行进的方向。

晶体学定义
在晶体学中，描述相同的波的方程略有不同。在一维和三维情况下的方程分别为：
:\psi(x,t) = A \cos (2 \pi (k x - \nu t)+\varphi)
:\psi \left({\mathbf r}, t \right) = A \cos \left(2\pi({\mathbf k} \cdot {\mathbf r} - \nu t) + \varphi \right)。
不同点在於：
*晶体学定义使用了频率\nu，而不是角频率\omega，由公式2\pi \nu=\omega，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
波数k*以及波矢k的定义方式不同。此处的k=|{\mathbf k}| = 1/\lambda，而在物理学定义中，k=|{\mathbf k}| = 2\pi/\lambda。

狭义相对论
接近单色光的波包可以由波矢
::k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{k} \right) \,
准确描述，若明确的改写成共變和反變形式，则
::k^\mu = \left(\frac{\omega}{c}, k^1, k^2, k^3 \right)\, 且
::k_\mu = \left(\frac{\omega}{c}, -k_1, -k_2, -k_3 \right) \,。

於是波矢的大小为
::k^2 = k^\mu k_\mu = k^0 k_0 - k^1 k_1 - k^2 k_2 - k^3 k_3 \,
:::::=\frac{\omega^2}{c^2} - \vec{k}^2 = 0 \,

最後一步等於零是因为对於真空中的光满足
::k = \frac{\omega}{c} \,

洛伦兹变换
对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为
::\Lambda = \begin{bmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0 \\
-\beta \gamma&\gamma&0&0 \\
0&0&1&0 \\
0&0&0&1
\end{bmatrix}
。

在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位於坐标系S s，地球位於观测系S obs。
对波矢进行洛伦兹变换得到
::k^{\mu}_s = \Lambda^\mu_\nu k^\nu_{\mathrm{obs}} \,。

只考虑\mu = 0分量的情况，得到
::k^{0}_s = \Lambda^0_0 k^0_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_1 k^1_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_2 k^2_{\mathrm{obs}} + \Lambda^0_3 k^3_{\mathrm{obs}} \,。
::
因此
::

波源远离观测者
当波源径直地远离观测者时，\theta=\pi，方程变为：
::\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{1}{\gamma (1 + \beta)} = \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}}{1+\beta} = \frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}} \,。

波源接近观测者
当波源径直地接近观测者时，\theta=0，方程变为：
::\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{\omega_s} = \frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}} \,。

参考文献
*