辐角原理

在复分析中，辐角原理（）或称柯西辐角原理（）说如果 f(z) 是在某个围道 C 上以及内部一个亚纯函数，且 f 在 C 上没有零点或极点，则下列公式成立
: \oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi \mathrm{i} (N-P)
这里 N 与 P 分别表示 f(z) 在围道 C 内部的零点与极点个数，每个零点计重数，极点计阶数。定理的陈述假设围道 C 是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。

更一般地，假设 C 是一条曲线，逆时针方向定向，在复平面中一个开集 \Omega 中可缩为一点。对每个 z\in\Omega，令 n(C,z) 是 C 绕点 z 的卷绕数。则
:\oint_{C} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = 2\pi \mathrm{i} \left(\sum_a n(C,a) - \sum_b n(C,b)\right),
这里第一个求和对 f 所有零点 a 进行并计重数，第二个求和在 f 的所有极点 b 上进行并计重数。

证明
设 z_N 是 f 的一个零点。我们可将 f 写成 f(z)=(z-z_N)^kg(z) 这里 k 是零点z_N的重数，从而
g(z_N)\neq 0。我们有
: f'(z)=k(z-z_N)^{k-1}g(z)+(z-z_N)^kg'(z)\,\!
以及
: {f'(z)\over f(z)}={k \over z-z_N}+{g'(z)\over g(z)}.
因 g(z_N)\neq 0， \frac{g'(z)}{g(z)}在
z_N 没有奇点，从而在 z_N 解析，这意味着
\frac{f'(z)}{f(z)} 在 z_N 的留数是 k。

设 z_P 是 f 的一个极点。我们可写成 f(z)=(z-z_P)^{-m}h(z) 这里 m 是极点z_P的阶数，从而
h(z_P)\neq 0。我们有
: f'(z)=-m(z-z_P)^{-m-1}h(z)+(z-z_P)^{-m}h'(z)\,\!.
以及
: {f'(z)\over f(z)}={-m \over z-z_P}+{h'(z)\over h(z)}
因为 h(z_P)\neq 0， \frac{h'(z)}{h(z)} 在 z_P 没有奇点，从而在 z_P 解析。我们发现
\frac{f'(z)}{f(z)} 在 z_P 的留数是 -m。

将它们放在一起，f 的每个 k 重零点 z_N 产生
\frac{f'(z)}{f(z)} 的一个留数为 k 的单极点，而 f 的每个 m 阶极点 z_P 产生 \frac{f'(z)}{f(z)} 的一个留数为 -m 的单极点（这里一个单极点指一阶极点）。另外，可以证明 \frac{f'(z)}{f(z)} 没有其它极点，从而没有其它留数。

由留数定理我们有关于 C 的积分是 2\pi \mathrm{i} 与这些留数之和的乘积。总之，每个零点 z_N 的 k 之和是计重数的零点个数，对极点类似，故我们得到了欲证之结论。

推论
假设 C 是一个以原点为中心的闭围道，通过考虑 f(z) 关于 0 的卷绕数可得出一些推论。我们看到 \frac{f'(z)}{f(z)} 在 C 上的积分是 \log f(z) 值的变化。因为 C 是闭的我们只需考虑 {\arg f(z)}\cdot\mathrm{i} 在 C 上的变化，它将是 2\pi\mathrm{i} 的某个整数倍（但可能绕原点卷多圈）。但从辐角原理
: \oint_C {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi \mathrm{i} (N-P)
约去因子 2\pi \mathrm{i}，我们得到
: N-P = I(C, 0)
这里 I(C,0) 表示 f 在 C 上关于 0 的卷绕数，且有I(C,0)=\sum_a n(C,a)，（这里的求和对 f 所有零点 a 进行并计重数）。

一个推论是更广泛的定理，在同样的假设下，如果 g 是 \Omega 中一个解析函数，则

: \frac{1}{2\pi i} \oint_C g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_a n(C,a)g(a) - \sum_b n(C,b)g(b).

例如，如果 f 是以一个简单围道 C 内部 z_1,\dots,z_p 为零点的多项式，以及g)z)=z^k，则
: \frac{1}{2\pi i} \oint_C z^k\frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = z_1^k+z_2^k+\dots+z_p^k,
是 f 的根的次方和對稱多項式。

另一个推论是如果我们计算复积分：
: \oint_C f(z){g'(z) \over g(z)}\, dz,

对一个合适的f，我们有：

: \sum_{n=0}^{\infty}f(n)-\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx= f(0)/2+i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\, dt ,

这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。

历史
按照弗兰克·史密西斯一书（Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997）的说法，在奥古斯丁·路易·柯西从法国到都灵（当时皮德蒙特-萨丁尼亚王国的首都）的自我放逐途中，柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理（见177页）。但是根据此书，只提到了零点，没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表，故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中，零点与极点都讨论了。定理 1 只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理 2 说“一个单复变量函数 Z 的对数计量（compteurs logarithmiques，相当于现代教材中的对数留数）等于 Z 与 1/Z 根的个数之差（相当于现代教材中的函数 Z 的零点与极点）。从而现代“辐角原理”可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。

应用
反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理，将其作为奈奎斯特稳定性判据的理论基础。哈里·奈奎斯特1932年原理的论文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中，奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 与 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl (Bell Laboratories) 将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在，辐角原理可在复分析或控制工程学的现代教材中都可以找到。

参考文献
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外部链接
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[https://web.archive.org/web/20061209225331/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/RoucheTheoremMod.html Module for the Argument Principle by John H. Mathews]
[http://demonstrations.wolfram.com/AnIllustrationOfTheArgumentPrinciple/ An Illustration of the Argument Principle] by Keith Schneider, The Wolfram Demonstrations Project.

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