貝爾數（）是組合數學中的一組整數數列，以埃里克·坦普尔·贝尔命名，首幾個貝爾數為：
:B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad\dots
性質
B_n是基數為n的集合的劃分方法的數目。集合S的劃分是S的兩兩不相交的非空子集的族，它們的並是S。例如，B_3 = 5，因為有3個元素的集合\{a,b,c\}有5種不同的劃分方法：
。
:\{\{a\},\{b\},\{c\}\}
:\{\{a\},\{b,c\}\}
:\{\{b\},\{a,c\}\}
:\{\{c\},\{a,b\}\}
:
:\{a,b,c\};
:B_0 = 1因為空集正好有1種劃分方法。空集的每個成員都是非空集合（这是Vacuous truth，因为空集实际上没有成員），而它們的並是空集本身。所以空集是它的唯一劃分。
貝爾數滿足遞推公式：
:B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k}.
上述组合公式的证明：
可以这样来想，B_{n+1}是含有n+1个元素集合的划分的个数，考虑元素b_{n+1}.
假设他被单独划分到一类，那么还剩下n个元素，这种情况下划分个数为{n \choose n}B_{n}；
假设他和某一个元素被划分为一类，那么还剩下n-1个元素，这种情况下划分个数为 {n \choose n-1}B_{n-1}；
假设他和某两个元素被划分为一类，那么还剩下n-2个元素，这种情况下划分个数为 {n \choose n-2}B_{n-2}；
依次类推，得到了上述组合公式
它們也適合「Dobinski公式」：
:B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}期望值為1的泊松分數的n次矩。
它們也適合「Touchard同餘」：若p是任意質數，那麼
:B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\ (\operatorname{mod}\ p).
每個貝爾數都是"第二類Stirling數"的和
:B_n=\sum_{k=0}^n S(n,k).
Stirling數S（n, k）是把基數為n的集劃分為正好k個非空集的方法的數目。
把任一概率分佈的n次矩以首n個累積量表示的多項式，其係數和正是第n個貝爾數。這種數劃分的方法不像用Stirling數那個方法粗糙。
貝爾數的指數母函數是
:\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.
貝爾三角形
用以下方法建構一個三角矩陣（形式類似楊輝三角形）：
- 第一行第一項是1（a_{1,1} = 1）
- 對於n>1，第n行第一項等同第n-1行最後一項。（a_{n,1} = a_{n-1,n-1}）
- 對於m,n>1，第n行第m項等於它左邊和左上方的兩個數之和。（a_{n,m} = a_{n,m-1} + a_{n-1,m-1}）
結果如下：（A011971）
: \begin{array}{cccccccccccccccccc}
1 \\
1&&&& 2&&&&\\
2&&&& 3&&&& 5&&&&\\
5&&&& 7&&&& 10&&&& 15&&&&\\
15&&&& 20&&&& 27&&&& 37&&&& 52&&&&\\
52&&&& 67&&&& 87&&&& 114&&&& 151&&&& 203&&&&\\
203&&&& 255&&&& 322&&&& 409&&&& 523&&&& 674&&&& 877&&&&\\
877&&&& 1080&&&& 1335&&&& 1657&&&& 2066&&&& 2589&&&& 3263&&&& 4140&&&&\\
\end{array}
每行首項是貝爾數。每行之和是第二類Stirling數。
這個三角形稱為貝爾三角形、Aitken陣列或Peirce三角形（Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle）。
參考
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