超越三角函數

超越三角函數是自然對數的一種延伸，也是歐拉公式的擴充，其中每個超越三角函數都違反原來對三角函數的定義。

超越單位三角函數
由李昂哈德·歐拉對複數的定義得知：
: e^{ix} = \cos ( x ) + i\sin ( x ) \,
當 x=ln(i),時，得知：
: i^{i}= \cos ln (i) + i\sin ln (i) \,

: i^{-i}= \cos ln (i) - i\sin ln (i) \,
再因為
: e^{i \pi} = -1 \,
:=> e^{\frac{i\pi}{2}} = i \,
:=> e^{\frac{\pi}{2}} = i^{-i} \,
所以得出下列結論：
: i^{i} = e^{\frac{-\pi}{2}} = \cos ln (i) + i\sin ln (i) \,

: i^{-i} = e^{\frac{\pi}{2}} = \cos ln (i) - i\sin ln (i) \,
解聯立方程解得
: cos [ln(i)] = \frac{exp(\frac{\pi}{2})+exp(\frac{-\pi}{2})}{2}
: sin [ln(i)] = {\frac{exp(\frac{\pi}{2})-exp(\frac{-\pi}{2})}{2}}i
發現 cos ln (i) 明顯超越了1，這代表了斜邊比鄰邊還短，違反了當初對實數係的三角函數的定義域，所以這稱為對虛數係的三角函數

超越三角函數
延伸後可得：
: cos [xln (i)] = \frac{exp(\frac{x\pi}{2})+exp(\frac{-x\pi}{2})}{2}
: sin [xln (i)] = {\frac{exp(\frac{x\pi}{2})-exp(\frac{-x\pi}{2})}{2}}i

複數悖論與數學單位形成
將超越三角函數以三度空間方式作圖，X軸為自變數，Y軸為變數之實部，Z軸為變數之虛部，可以發現超越三角函數都是以4為一週期的函數圖形，但是最後會發現一件怪異之處
: 2ni{\pi}=0
這對一般數學是不成立的，但是為何有合理的解釋？
如果說一般數的單位是│µ│（單位向量），歐拉對虛數的冪可見
: 2ni{\pi}=0此單位是rad‧│µ│，如此2π等同於0的意思，那悖論也就被打破了。

لوغاريتم طبيعي
Logarithmus#Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen
Naturlige logaritmen