在數學裏，給予一個定義於內積空間的函數，假若對於任意旋轉，函數的參數值可能會改變，但是函數的數值仍舊保持不變，則稱此性質為旋轉不變性（rotational invariance），或旋轉對稱性（rotational symmetry），因為函數對於旋轉具有對稱性。例如，假設以xyz-參考系的原點為固定點，任意旋轉xyz-參考系，而函數 f(x,\,y,\,z)=x^2+y^2+z^2 的數值保持不變，因此，函數 f(x,\,y,\,z) 對於任意旋轉具有不變性，或對於任意旋轉具有對稱性。
在物理學裏，假若物理系統的性質跟它在空間的取向無關，則這系統具有旋轉不變性。根據諾特定理，假若物理系統的作用量具有旋轉不變性，則角動量守恆。
根據物理學家多年來仔細研究的結果，到目前為止，所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性。
球對稱位勢範例
哈密頓算符的旋轉不變性
假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 V(r) ，其哈密頓算符 H 可以表示為
:H= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r) ；
其中，\hbar 是約化普朗克常數，m 是質量，r 是徑向距離。
現在，以 z-軸為旋轉軸，旋轉此系統的 x-軸與 y-軸 \theta 角弧，則新直角坐標 \mathbf{r}'=(x',\,y',\,z') 與舊直角坐標的關係式為
:x'=x\cos\theta - y\sin\theta 、
:y'=x\sin\theta+y\cos\theta 、
:z'=z 。
偏導數為
:\frac{\partial}{\partial x'}=\cos\theta\frac{\partial}{\partial x} - \sin\theta\frac{\partial}{\partial y} 、
:\frac{\partial}{\partial y'}=\sin\theta\frac{\partial}{\partial x} +\cos\theta\frac{\partial}{\partial y} 、
:\frac{\partial}{\partial z'}=\frac{\partial}{\partial z} 。
那麼，導數項目具有旋轉不變性：
:\nabla'^2=\left(\frac{\partial}{\partial x'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y'}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z'}\right)^2=\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^2 =\nabla^2 。
由於徑向距離具有旋轉不變性：
:r'=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r ，
旋轉之後，新的哈密頓算符 H' 是
:H'= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla'^2+V(r')= - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)=H 。
所以，球對稱位勢量子系統的哈密頓算符具有旋轉不變性。
角動量守恆
假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 V(r) ，則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符 R 為一個對於 z-軸的無窮小旋轉 \delta\theta 。則正弦函數與餘弦函數可以分別近似為
:\sin\delta\theta\approx\delta\theta 、
:\cos\delta\theta\approx 1 。
新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為
:x'\approx x - y\delta\theta 、
:y'\approx x\delta\theta+y 、
:z'=z 。
將 R 作用於波函數 \psi(x,\,y,\,z) ，
:R\psi(x,\,y,\,z)=\psi(x',\,y',\,z')\approx \psi(x,\,y,\,z)+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z \psi(x,\,y,\,z) ；
其中，L_z 是角動量的 z-分量，L_z=xp_y - yp_x= - i\hbar \left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right) 。
所以，旋轉算符 R 可以表達為
:R=1+\frac{i}{\hbar}\delta\theta L_z 。
假設 \psi_E(\mathbf{r}) 是哈密頓算符的能級本徵態，則
:H\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r}) 。
由於 \mathbf{r} 只是一個虛設變數，
:H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}') 。
在做一個微小旋轉之後，
:RH\psi_E(\mathbf{r})=RE\psi_E(\mathbf{r})=ER\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r}') 、
:HR\psi_E(\mathbf{r})=H\psi_E(\mathbf{r}')=H'\psi_E(\mathbf{r}')=E\psi_E(\mathbf{r}') 。
所以，(RH-HR)\psi_E(\mathbf{r})=0 。哈密頓算符的能級本徵態 \psi_E(\mathbf{r}) 形成一組完備集 ()，旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是
:[R,\,H]=0 。
因此，
:[L_z,\,H]=0 。
根據埃倫費斯特定理，L_z 的期望值對於時間的導數是
:\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle= \frac{1}{i\hbar}\langle [L_z,\,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial L_z}{\partial t}\right\rangle 。
所以，
:\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle=\left\langle \frac{\partial L_z}{\partial t}\right\rangle 。
由於 L_z 顯性地不含時間，
:\frac{d}{dt}\langle L_z \rangle=0 。
總結，\langle L_z \rangle 不含時間，L_z 是個運動常數。角動量的 z-分量守恆。類似地，可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以，整個角動量守恆。
參閱
*各向同性
*軸對稱
*明顯對稱性破缺
*馬克士威定理 ()
參考文獻
*
Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes*. Prometheus Books. 特別參考第十二章。非專科性書籍。
评论 (0)