在數學上，複值域函數的正定函數是和正定矩陣有關的特質。
令\mathbb{R}是實數集合，\mathbb{C}為複數集合。
函數 f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} 稱為半正定，若針對所有實數x1, …, xn， n × n 矩陣
: A = \left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^n~, \quad a_{ij} = f(x_i - x_j)
都是半正定矩陣。
依照定義，半正定矩陣（像是A）會是埃尔米特矩阵，因此f(−x)是f(x))的共轭复数。
若上述矩陣改為正定矩陣、半負定矩陣及負定矩陣，則函數則為正定函數、半負定函數及負定函數。
舉例
若(X, \langle \cdot, \cdot \rangle)是實内积空间，則g_y \colon X \to \mathbb{C}, x \mapsto \exp(i \langle y, x \rangle)對於每一個y \in X是正定：針對所有u \in \mathbb{C}^n，以及所有x_1, \ldots, x_n，可得
:
u^* A^{(g_y)} u
= \sum_{j, k = 1}^{n} \overline{u_k} u_j e^{i \langle y, x_k - x_j \rangle}
= \sum_{k = 1}^{n} \overline{u_k} e^{i \langle y, x_k \rangle} \sum_{j = 1}^{n} u_j e^{- i \langle y, x_j \rangle}
= \left| \sum_{j = 1}^{n} \overline{u_j} e^{i \langle y, x_j \rangle} \right|^2
\ge 0.
正定函數的非負線性組合也是正定函數，像是余弦函數是上述函數的非負線性組合，因此是正定的：
:
\cos(x) = \frac{1}{2} ( e^{i x} + e^{- i x}) = \frac{1}{2}(g_{1} + g_{-1}).
若有正定函數f \colon \R \to \mathbb C，以及向量空间X，可以建立正定函數f \colon X \to \mathbb{C}：選擇 \phi \colon X \to \R，並且定義f^* := f \circ \phi.
則
:
u^ A^{(f^)} u
= \sum_{j, k = 1}^{n} \overline{u_k} u_j f^*(x_k - x_j)
= \sum_{j, k = 1}^{n} \overline{u_k} u_j f(\phi(x_k) - \phi(x_j))
= u^* \tilde{A}^{(f)} u
\ge 0,
其中\tilde{A}^{(f)} = \big( f(\phi(x_i) - \phi(x_j)) = f(\tilde{x}_i - \tilde{x}_j) \big)_{i, j}，而在\phi線性時，每一個\tilde{x}_k := \phi(x_k)都是不同的。
Bochner定理
正定函數也出現在傅里叶变换的理論中，可以看出一個函數f正定就是可以成為在函數g（且g(y) ≥ 0）在實數線上傅里叶变换的充份條件。
反過來的結果就是，提到在實數線上的连续正定函數是正测度的傅里叶变换。
應用
在统计学（特別是贝叶斯统计）裡，此定理常用在實函數中，一般來說，會在R^d裡選幾個點，針對其純量值進行n個純量的量測，若要量測結果有高度相關性，這些點需要互相靠近。實際上，必須小心確保所得的共變異數矩陣（矩陣）恆為正定矩陣。有一個作法是定義一個相關矩陣，再乘以純量，得到协方差矩阵，所得的一定是正定矩陣。Bochner定理表示，若二個點的相關係數只會隨其距離而變化（也就是距離的函數f），則函數f一定會是正定函數，以確保共變異數矩陣A是正定的。
在此context下，一般不會用傅里叶变换，而是稱f(x)是對稱機率密度函數（PDF）的特征函数。
擴展
可以在局部緊阿貝爾拓樸群定義正定函數，Bochner定理可以擴展到此context。群上的正定函數會出自然的出現在希尔伯特空间上群的表示论裡（也就是的理論）。
参见
*正定 (消歧義)#數學
*
腳註
參考
- Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag.
- Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994
- Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.
外部連結
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