图着色问题（，簡稱），又称着色问题，是最著名的NP-完全问题之一。

给定一个无向图G=(V, E)，其中V为顶点集合，E为边集合，图着色问题即为将V分为K个颜色组，每个组形成一个独立集，即其中没有相邻的顶点。其优化版本是希望获得最小的K值。

图色数
有两个相关的术语：

图色数（chromatic number），也被称为顶点色数（vertex chromatic number），指将一张图上的每个顶点染色，使得相邻的两个点颜色不同，最小需要的颜色数。最小染色数用\chi(G)或\gamma(G)表示。

（edge chromatic number）：指将一张图上的每条边染色，使有公共顶点的边颜色不同，最少需要的颜色数叫边色数，用\chi'(G)表示。

和图中其他对象的关系
色数和团数（clique number）

团（clique）是一个图中两两相邻的顶点构成的集合。最大团是一个图中顶点最多的团，它的顶点数被称为G的团数，记为\omega(G)。\omega(G)和\chi(G)满足如下关系：

\chi(G)\geq\omega(G)

色数和独立数（independence number）

独立集（independent set）是一个图中两两不相邻的顶点所构成的集合。最大独立集是一个图中顶点最多的独立集，它的定点数被称为G的独立数，记为\alpha(G)。\alpha(G)和\chi(G)满足如下关系：

\frac{n}{\alpha(G)} \leq \chi(G) \leq n - \alpha(G) + 1

色多项式
色多項式用於計算給定數量的顏色下對某圖進行塗色的可行方式數。例如，考慮有3個頂點的完全圖 K_3，若只使用兩種顏色，K_3根本無法被著色；若使用三種顏色，則有 3!=6 種方式進行著色；若使用四種顏色，則有 P^4_3=24 個有效著色方案。因此，對於 K_3，有效著色數量的表格將從以下內容開始：

色多项式是一個函數，記錄将一个图 G 进行 t-着色的方法数，记作 P(G,t)。正如其名所述，P(G,t) 是一個关于 t 的多项式。回到上面 K_3 的例子，事實上，P(K_3,t)=t(t-1)(t-2)。

顯而易見的，色多項式 P(G,t) 比圖色數蘊涵更多的資訊，更精確的說，\chi(G) 是色多項式最小的非零解正整數，即

\chi (G)=\min\{ k\,\colon\,P(G,k) > 0 \}.

下表给出了部分图的色多项式：

重要定理

• 五色定理
• 四色定理
• Vizing定理
• 布鲁克定理
• Konig定理（关于二分图）
• Hadwiger猜想
• 拉姆齐定理

*色数

参见

• NP-complete問題列表
• 幾乎完備（）問題與弱完備（）問題
• ASR-complete
• Ladner理論
• NP困难
• P/NP问题

參考來源