德鲁德模型

电传导的德鲁德模型在1900年

由保罗·德鲁德提出，以解释电子在物质（特别是金属）中的输运性质。这个模型是分子运动论的一个应用，假设了电子在固体中的微观表现可以用经典的方法处理，很像一个彈珠台，其中电子不断在较重的、相对固定的正离子之间来回反弹。

德鲁德模型的两个最重要的结果是电子的运动方程：
:\frac{d}{dt}\mathbf{p}(t) = q\mathbf{E} - \frac{\mathbf{p}(t)}{\tau},
以及电流密度J与电场E之间的线性关系：
:\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.
在这里，t代表时间，p、q、n、m和\tau分别代表电子的动量、电荷、数密度、质量、以及与离子碰撞之间的平均自由时间。后一个表达式尤其重要，因为它用半定量的术语解释了为什么欧姆定律（电磁学中最普遍存在的一个关系）应该是正确的。

解释
直流电场
德鲁德模型最简单的分析，假设了电场\mathbf{E}既是均匀的又是恒定的，且电子的热速度足够大，使得它们在碰撞之间仅仅积累了无穷小的动量d\mathbf{p}，这平均每隔\tau秒发生一次。

经过一番计算，便得出以下的微分方程：

:\frac{d}{dt}\langle\mathbf{p}(t)\rangle = q\mathbf{E} - \frac{\langle\mathbf{p}(t)\rangle}{\tau},

其中\langle\mathbf{p}\rangle表示平均动量，m表示有效质量，q表示电子的电荷。这是一个非齐次微分方程，它的通解为：

:\langle\mathbf{p}(t)\rangle = q \tau \mathbf{E} + \mathbf{C} e^{-t/\tau}

于是，稳态解（\frac{d}{d t}\langle\mathbf{p}\rangle = 0）为：

:\langle\mathbf{p}\rangle = q \tau \mathbf{E},

像上面一样，平均动量可以与平均速度有关，而这又可以与电流密度有关：

:\langle\mathbf{p}\rangle = m \langle\mathbf{v}\rangle,
:\mathbf{J} = n q \langle\mathbf{v}\rangle,

于是可以证明，物质满足欧姆定律，其直流电电导率为\, \sigma_0：

:\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.

德鲁德模型还可以预言在角频率为\, \omega的时变电场的响应下的电流，在这种情况下：

:\sigma(\omega) = \frac{\sigma_0}{1 + i\omega\tau}.

这里假设了

:E(t) = \Re(E_0 e^{i\omega t});
:J(t) = \Re(\sigma(\omega) E_0 e^{i\omega t}).

还存在另一种惯例，所有方程中的\, i都用\, -i来代替。虚数部分表示电流落后于电场，这是由于电子大约需要时间\, \tau来对电场的变化作出响应。这里德鲁德模型是应用于电子的；它既可以应用于电子，又可以应用于空穴，也就是说，半导体中的正电荷载流子。

模型的准确性
这个简单、经典的德鲁德模型提供了金属中的直流电和交流电传导、霍尔效应，以及热传导的非常好的解释。这个模型也解释了1853年发现的魏德曼-弗朗茨定律。然而，它大大高估了金属的电子热容。实际上，金属和绝缘体在常温下的热容大致上相等。虽然模型可以应用于正电荷（空穴）载流子，像霍尔效应所验证的那样，它并不预言它们的存在。

德鲁德在最初的论文中犯了一个概念性的错误，他估计电导率仅有实际值的一半。

参见
*自由电子模型
*阿诺·索末菲
*经典和量子传导
*电导率

参考文献