在物理学中，拉比周期是在振荡外场中的二能级量子体系的周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态，如果状态不是简并的，当吸收一份能量以后，体系可以被激发。

这种效应在量子光学、核磁共振和量子计算中非常重要，它是以伊西多·伊萨克·拉比（Isidor Isaac Rabi）的名字命名的。

当一个原子（或者其它二能级体系）被一束相干光照射的时候，它将周期性地吸收光子并透過受激发射重新将光子发射出来，这样一个周期称为拉比周期，它的倒数称为。

这种机制是量子光学的基础，其模型的建立可以依据傑恩斯-卡明斯模型和布洛赫矢量形式。

例如，对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子（该原子的电子可以处于激发态或者基态），利用布洛赫方程可以得到，原子处于激发态的机率为|c_b(t)|^2=\sin(\omega t/2)^2 \, ，其中\omega \,为。

更一般地，可以考虑一个没有本征态的二能级体系，如果这个体系初态位于其中一个能级，时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡，其角频率也称为。

数学处理
拉比效應的數學細節請參見。例如，若將电磁场频率调至激发能，並於電磁場當中置入一個雙態原子（該原子之电子可以处于激发态或基态），那麼處於激發態原子之機率可以从Bloch方程得出：

|c_b(t)|^2 \propto \sin^2 (\omega t/2)

\omega 是拉比频率。

更一般而言，我們可以考虑一種，兩個能階都不是能量本征态的系统。因此，如果在其中一個能階對系统初始化，则时间演化将使每个能階的總粒子數以某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率。該雙態量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间複向量，这意味着每个状态向量 \vert\psi\rangle是以標准的复数坐标表示。

|\psi\rangle = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2\end{pmatrix} = c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} ; c_1和c_2是坐标。

如果向量归一化， c_1和c_2的关联為^2+^2 = 1 。基向量表示为|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}和|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}

所有与该系统相关的可观测物理量均为2 \times 2埃尔米特矩阵，这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。

如何在量子系统中准备振荡实验
可以透過以下步骤建構振荡实验：

准备系统，使之處於固定狀态；例如 |1\rangle

在哈密顿量H下，讓态隨时间t自由演化

求出狀态为|1\rangle的機率 P(t)

如果|1\rangle是H的本征态且P(t)=1 ，那麼就不会產生振荡。此外，如果两個態|0\rangle和|1\rangle皆為簡併態，那麼包括|1\rangle在內的所有态皆為H的本征态。因此也不会產生振荡。

另一方面，若H無简并本征态，且初态不是本征态，则振荡将會產生。雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下 \mathbf{H} = \begin{pmatrix} a_0+a_3 & a_1-ia_2\\ a_1+ia_2 & a_0-a_3\end{pmatrix}
a_0,a_1, a_2 和a_3是实数。这个矩阵可以分解为 \mathbf{H} = a_0\cdot\sigma_0 + a_1\cdot\sigma_1 + a_2\cdot\sigma_2 + a_3\cdot\sigma_3 ;
\sigma_0是2 \times 2單位矩陣， \sigma_k \; (k = 1,2,3)是泡利矩陣。尤其是在与时间无关的情况下，这种分解能夠简化系统分析，其中 a_0,a_1,a_2和a_3是常数。考虑置於磁场\mathbf{B} = B\mathbf{\hat z} 之中的自旋1/2粒子。该系统的交互作用能量算符为 \mathbf{H}=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}=-\gamma\mathbf{S}\cdot\mathbf{B}=-\gamma \ B\ S_z ， S_z = \frac{\hbar}{2}\, \sigma_3 =
\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}
\mu是粒子磁矩的大小， \gamma是旋磁比，\boldsymbol{\sigma}是泡利矩陣之向量。此處哈密顿量之本征态是\sigma_3，而|1\rangle和|2\rangle具有对应的本徵值E_+ = \frac{\hbar}{2}\gamma B \, \ E_-= -\frac{\hbar}{2}\gamma B 。我們可以在系统处于状态 |\psi\rang下，給出找到任意状态|\phi\rangle 之機率 ^2。在t=0 的時刻，让系统处于准备状态\left| +X \right\rangle 。注意到\left| +X \right\rangle是 \sigma_1的本征态： |\psi(0)\rang= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix}+ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
此處的哈密顿量与时间无关。因此，透過求解平稳的薛丁格方程，在經過时间t之后，狀態演變為\left|\psi(t)\right\rang= \exp\left[{\frac{-i\mathbf{H}t}{\hbar}}\right] \left|\psi(0) \right\rang = \begin{pmatrix} \exp\left[{\tfrac{-i E_+ t}{\hbar}}\right] & 0 \\
0 & \exp\left[{\tfrac{-i E_- t}{\hbar}}\right]
\end{pmatrix} |\psi(0)\rang ，帶有系统总能量E 。

因此經過时间t之后，状态成为： |\psi(t)\rang=e^{\frac{-iE_+t}{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + e^{\frac{-iE_-t}{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle
现在假设在t時刻，對x方向上的自旋進行测量。下式给出測量到自旋向上的機率：{\left|\langle +X|\psi(t)\rangle\right|}^2
= {\left|
\frac{\sqrt{2}}
\left({
\frac{1}{\sqrt{2}} \exp \left[\frac{-i E_+ t}{\hbar} \right]
\left|0 \right\rangle

\frac{1}{\sqrt{2}} \exp \left[\frac{-i E_- t}{\hbar} \right]

\left|1 \right\rangle
}\right)
\right|}^2
= \cos^2\left( \frac{\omega t}{2} \right) ,

\omega是特徵角频率，假设E_- \geq E_+ 的情形，給定 \omega = \frac{E_- - E_+}{\hbar}=\gamma B 。在这种情况下，当系统最初自旋是在\left| +X \right\rangle方向，那麼x方向发现自旋向上的機率會随著时间t而振盪。同样，如果我们测量\left| +Z \right\rangle方向，那麼所测量到的系统自旋为\tfrac{\hbar}{2}之機率為\tfrac{1}{2} 。在 E_+ = E_-簡併情形下，特征频率為0，無振盪發生。

留意到，如果系统处于给定哈密顿量的本征态，则系统将維持在该状态，保持不變。

這同樣也適用於时间相依的哈密顿函数。以\hat{H} = -\gamma\ S_z B \sin(\omega t) 為例；如果系统的初始自旋状态为\left| +Y \right\rangle ，那麼在t時刻，自旋在y方向测量结果為 +\tfrac{\hbar}{2}之機率為{\left| \left\langle \, +Y|\psi(t) \right\rangle \right|}^2 \,
= \cos^2 \left(\frac{\gamma B}{2\omega} \cos \left({\omega t}\right) \right) 。

以 Pauli 矩陣推導非微擾過程之拉比公式
考虑以下形式的哈密顿量 \hat{H} =
E_0\cdot\sigma_0 +
W_1\cdot\sigma_1 +
W_2\cdot\sigma_2 +
\Delta\cdot\sigma_3 =
\begin{pmatrix}
E_0 + \Delta & W_1-iW_2 \\
W_1+iW_2 & E_0 - \Delta
\end{pmatrix} .
該矩陣的特徵值為\lambda_+ =E_+=E_0+ \sqrt{{\Delta}^2+{W_1}^2+{W_2}^2}=E_0+\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2} ，\lambda_- =E_-=E_0- \sqrt{{\Delta}^2+{W_1}^2+{W_2}^2}=E_0-\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}。
此處 \mathbf{W}=W_1 + \imath W_2， {\left\vert W \right\vert}^2={W_1}^2+{W_2}^2=WW^*。因此我們可以取 \mathbf{W}={\left\vert W \right\vert}e^{\imath\phi}。

現在，由方程式 :\begin{pmatrix}E_0+\Delta & W_1-iW_2\\ W_1+iW_2 & E_0-\Delta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}=E_+\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix} ，我們可以得到E_+的特徵向量。

因此， b= - \frac{a \left(E_0+\Delta-E_+ \right)} {W_1 - i W_2}。

對特徵向量採用歸一化條件{\left\vert a \right\vert}^2+{\left\vert b \right\vert}^2=1。

因此 {\left\vert a \right\vert}^2+{\left\vert a \right\vert}^2\left(\frac{\Delta}{\left\vert W \right\vert}-\frac{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}{\left\vert W \right\vert}\right)^2=1。

令 \sin\theta=\frac{\left\vert W \right\vert}{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}，\cos\theta=\frac{\Delta}{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}。所以 \tan\theta=\frac{\left\vert W \right\vert}{\Delta}。

我們得到 {\left\vert a \right\vert}^2+{\left\vert a \right\vert}^2\frac{({1-\cos\theta})^2}{\sin^2\theta}=1，即 {\left\vert a \right\vert}^2=\cos^2\left(\tfrac{\theta}{2}\right)。取任意相角\phi，我們可以寫下 a=\exp(\imath\phi/2)\cos\left(\tfrac{\theta}{2}\right). 同理可證， b=\exp(-\imath\phi/2)\sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right)。

所以特徵值E_+之特徵向量為\left|E_+\right\rang =
\begin{pmatrix}
\cos \left(\theta/2\right) \\
e^{\imath\phi}\sin\left(\theta/2\right)
\end{pmatrix}。

由於總相角較無關緊要，我們可以寫下 \left|E_+\right\rang =
\begin{pmatrix}
\cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \\
e^{\imath\phi}\sin\left(\tfrac{\theta}{2}\right)
\end{pmatrix}
= \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|0\right\rang

e^{\imath\phi} \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|1\right\rang。

類似地, 特徵能量E_-之特徵向量為 \left|E_-\right\rang =
\cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|0\right\rang

e^{\imath\phi} \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|1\right\rang。

從這兩個方程，我們可以寫出

\left|0\right\rang =
\cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_+\right\rang

\sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_-\right\rang

\left|1\right\rang =
e^{-\imath\phi} \cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_+\right\rang

e^{-\imath\phi} \sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_-\right\rang。

假設系統開始時在時刻 t = 0的狀態是|0\rang，也就是說，\left| \psi\left( 0 \right) \right\rang =
\left|0\right\rang =
\cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_+\right\rang

\sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \left|E_-\right\rang。經過時間t之後，狀態演變為

\left| \psi\left( t \right) \right\rang =
e^{\frac{-i \hat{H} t}{\hbar}} \left| \psi\left( 0 \right) \right\rang =
\cos \left(\tfrac{\theta}{2}\right) e^{\frac{-i E_+ t}{\hbar}} \left|E_+\right\rang

\sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) e^{\frac{-i E_- t}{\hbar}} \left|E_-\right\rang。

如果系統處於|E_+\rang 或 |E_-\rang之中的某一個本徵態，那麼它將會維持在同一個本徵態。然而，對於如上所示的一般初始狀態而言，時間演化並不顯然。

系統在時刻t處於狀態|1\rang的機率幅為 \left \langle\ 1 | \psi(t) \right\rangle =
e^{\imath\phi}\sin \left(\tfrac{\theta}{2}\right) \cos\left(\tfrac{\theta}{2}\right)
\left( e^{\frac{-\imath E_+ t}{\hbar}}-e^{\frac{-\imath E_- t}{\hbar}} \right)
。

系統當前處於|\psi(t)\rang，而之後處於任意態 |1\rang的機率為 \begin{align} P_{0\to 1}(t) &= ^2
\\ &=
e^{-\imath\phi} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
\left(e^{\frac{+\imath E_+ t}{\hbar}}-e^{\frac{+\imath E_-t}{\hbar}}\right)
e^{+\imath\phi} \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)
\left( e^{\frac{-\imath E_+ t}{\hbar}} - e^{\frac{-\imath E_-t}{\hbar}} \right)
\\&= \frac{\sin^2{\theta}}{4}
\left(2 - 2\cos\left( \frac{\left (E_+-E_- \right)t}{\hbar} \right) \right)
\end{align}

這可以簡化為 P_{0\to 1}(t)=\sin^2(\theta)\sin^2\left(\frac{(E_+-E_-)t}{2\hbar}\right)=\frac{{\left\vert W \right\vert}^2}{{\Delta}^2+{\left\vert W \right\vert}^2}\sin^2\left(\frac{(E_+-E_-)t}{2\hbar}\right).........(1)
這表明，當系統最初處於狀態|0\rang時，該系統最終處於狀態|1\rang的機率是有限的。機率是以角頻率 \omega =\frac{E_+-E_-}{2\hbar}=\frac{\sqrt{{\Delta}^2+ {\left\vert W \right\vert}^2}}{\hbar}振盪，而 \omega是系統唯一的玻爾頻率，又稱為。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後，系統處於狀態|0\rang的機率為^2=1-\sin^2(\theta)\sin^2\left(\frac{(E_+-E_-)t}{2\hbar}\right)，同樣也是振盪形式。

這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪，在許多問題之中都會發生這種振盪，如中微子振荡、、量子计算、氨邁射等等。

量子计算中的拉比振盪
任何双态量子系统都可以用来模拟量子位元。現在考虑一个自旋 \tfrac{1}{2} 系统，將磁矩 \boldsymbol{\mu} 置于经典磁场 \boldsymbol{B} =
B_0\ \hat{z} +
B_1 \left(\cos{(\omega t)}\ \hat{x} - \sin{(\omega t)} \ \hat{y} \right)之中。令系统旋磁比 \gamma ，因此磁矩 \boldsymbol{\mu} = \frac{\hbar}{2} \gamma \boldsymbol{\sigma} ，可以給出该系统的哈密顿量\mathbf{H}=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}= -\frac{\hbar}{2}\omega_0\sigma_z-\frac{\hbar}{2}\omega_1(\sigma_x\cos\omega t-\sigma_y\sin\omega t)，此處\omega_0=\gamma B_0，\omega_1=\gamma B_1。

透過上述步骤，我們可以求得哈密顿量的特征值和特征向量。现在，让量子位元在 t = 0 時刻處於量子態 |0\rang，那么，在 t 时刻，量子位元处于量子態|1\rang的機率為 P_{0\to1}(t)=\left(\frac{\omega_1}{\Omega}\right)^2\sin^2\left(\frac{\Omega t}{2}\right)\Omega=\sqrt{(\omega-\omega_0)^2+\omega_1^2}，这种现象就稱作拉比振盪。因此，量子位元會在量子態|0\rang和|1\rang之间振荡。振盪的振幅會在\omega=\omega_0達到最大，而这即為共振条件。共振时的跃迁機率為 P_{0\to1}(t)=\sin^2\left(\frac{\omega_1 t}{2}\right)，要从一個量子態|0\rang跃迁到另一個量子態|1\rang，只需调整旋转场作用的时间 t 滿足\frac{\omega_1 t}{2}=\frac{\pi}{2}或是 t=\frac{\pi}{\omega_1}就充分了，这叫做「\pi脈衝」。如果选择的时间介于0和 \frac{\pi}{\omega_1}之间，我们會得到|0\rang和|1\rang的疊加態。尤其是當 t=\frac{\pi}{2\omega_1}的時候，我们會得到一個「\frac{\pi}{2}脈衝」，它的作用是造成|0\rang \to \frac{|0\rang+i|1\rang}{\sqrt{2}}量子態躍遷，而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。当对激光场中的二能階原子进行大致满意的旋转波近似时，方程基本上是相同的。然后两个原子能階之间的能量差\hbar\omega_0(\omega是激光波的频率)及拉比频率\omega_1，与原子的跃迁电偶极矩\vec{d}与激光波电场\vec{E}的乘积成正比，也就是\omega_1 \propto \hbar \ \vec{d} \cdot \vec{E}。總而言之，拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程，而這個振盪是在適當調整的時間間隔內，藉由將量子位元暴露在周期性的電場或磁場中來獲得。

拉比周期

准备系统，使之處於固定狀态；例如 |1\rangle

在哈密顿量H下，讓态隨时间t自由演化

求出狀态为|1\rangle的機率 P(t)

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