半球电子能量分析器（Hemispherical electron energy analyzer）或称半球偏转分析器，是一种电子能谱仪，通常用于需要高能量分辨率的应用场景，如的不同变体，包括角分辨光電子能譜學（ARPES）、X射线光电子能谱学（XPS）和俄歇电子能谱学（AES），以及诸如（PEEM）和低能电子显微镜（LEEM）等成像应用。
该分析器由两个同心导电半球组成，作为电极。当电子从一端的狭缝进入时，半球产生的电场会使其轨迹发生偏转，电子最终的半径取决于其动能。因此，该分析器可实现从动能到检测器位置的映射。
功能
理想的半球分析器由两个同心的半球形电极（内半球和外半球）组成，半径分别为R_{1}和R_{2}，并施加适当的电压。在此系统中，电子沿连接入口狭缝和出口狭缝的方向根据动能进行线性色散，而相同能量的电子则实现一阶聚焦。
当内、外半球分别施加电压V_1和V_2时，两电极间区域的电势遵循拉普拉斯方程：
: V(r)= - \left[\frac{V_{2}-V_{1}}{R_{2}-R_{1}}\right]\cdot\frac{R_{1}R_{2}}{r} + const
由此产生的电场从半球中心向外呈径向分布，具有熟悉的1/r^2行星运动形式：
: |\mathbf{E}(r)|= - \left[\frac{V_{2}-V_{1}}{R_{2}-R_{1}}\right]\cdot\frac{R_{1}R_{2}}{r^{2}}
通过设定电压，使得动能E_k等于所谓“通带能量”（pass energy）E_P的电子，能够沿半径为R_P = \tfrac{1}{2}(R_1 + R_2)的圆形轨迹运动。电场-e \mathbf{E}(r)在此路径上提供了所需的向心力。基于此：
: V (r) = \frac{E_\textrm{P}}{e}\frac{R_\textrm{P}}{r}+const
两半球间的电势差需满足：
: V_{1}-V_{2}=\frac{1}{e}\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}-\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)E_\textrm{P}
位于半球另一侧半径R_P处的单个点状检测器只能记录单一动能的电子。然而，由于最终半径与动能之间存在近似线性关系，检测过程可以并行化。过去曾使用多个离散电子检测器（電子倍增管），但现在普遍采用带有荧光屏和相机检测的微通道板检测器。
通常，这些轨迹在大圆平面内用极坐标r, \varphi描述。对于以相对于入口法线\alpha角入射的电子，以及初始半径r_0 \equiv r(\varphi=0)（用于考虑有限的孔径和狭缝宽度，通常为0.1至5 mm）：
: r(\varphi)=r_0\,\left[{(1-c^{2})\cos\varphi-\tan\alpha\sin\varphi+c^{2}}\right]^{-1}
: 其中
: c^{2}=R_{\textrm{P}}\left[\tfrac{E_{\textrm{k}}}{E_{\textrm{P}}}r_0\cos^{2}\alpha-2\left(r_0-R_{\textrm{P}}\right)\right]^{-1}
正如计算出的电子轨迹图所示，有限的狭缝宽度直接映射到能量检测通道（从而将真实的能量展度与束宽混淆）。角展度虽然也降低了能量分辨率，但在正负偏差相等时表现出一定的聚焦效果，因为它们会映射到相同的最终点。
当这些偏离中心轨迹的量用小参数\varepsilon, \sigma（定义为E_k=(1+\varepsilon)E_\textrm{P}，r_0=(1+\sigma)R_\textrm{P}）表示，并考虑到\alpha本身很小（约1°）时，电子轨迹的最终半径r(\pi)可表示为：
: r_\pi\approx R_\textrm{P}(1+2\varepsilon-\sigma-2\alpha^2+2\varepsilon^2-6\alpha^2\varepsilon)
如果固定能量E_k的电子通过宽度为w的狭缝进入分析器，它们将在分析器的另一端成像为一个宽度为w的光斑。如果它们在入口处的最大角展度为\alpha，则会获得 2R_P\,\alpha^2的额外宽度，单个能量通道在检测器侧会被涂抹在 |\Delta r_\pi|_{\sigma,\alpha}=w+2R_P\,\alpha^2范围内。但在此处，该额外宽度被解释为能量色散，一阶近似下为 |\Delta r_\pi|_\varepsilon = 2R_P\,\Delta E/E_P。因此，仪器能量分辨率（作为狭缝宽度w和入射光电子最大入射角\alpha的函数，\alpha本身又取决于孔径和狭缝的宽度）为：
: \Delta E=E_\textrm{P}\left(\frac{w}{2R_\textrm{P}}+\alpha ^2\right)
分析器的分辨率随着R_P的增大而提高。然而，与分析器尺寸相关的技术问题限制了其最大值，大多数分析器的R_P在100-200 mm范围内。较低的通带能量E_P也能提高分辨率，但此时电子的传输概率会降低，从而导致信噪比下降。分析器前的静电透镜有两个主要目的：将入射光电子收集并聚焦到分析器的入口狭缝中，并将电子减速至E_\textrm{P}附近的动能范围，以提高分辨率。
在以“扫描”（swept）模式获取光谱时，两个半球的电压（从而通带能量）保持不变；同时，施加到静电透镜上的电压被扫描，使得每个通道在选定的时间内对具有选定动能的电子进行计数。为了减少每个光谱的采集时间，可以使用所谓的“快照”（snapshot，或称“固定”）模式。该模式利用了光电子动能与其在检测器内位置之间的关系。如果检测器的能量范围足够宽，且从所有通道收集到的光发射信号足够强，则可以通过检测器的图像一次性获得光发射光谱。
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参考
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