積分變數變換（change of variable of integrals, change of variable formula）藉由改寫函數並重述積分範圍，提供方便計算積分的有效工具。此處所涉積分共有黎曼積分和勒貝格積分兩種。這裡我們限制函數的定義域總是在歐幾里得空間。
黎曼積分的變數變換
定義
令\, C(\Omega) \,為定義在集合\, \Omega \,上全體連續函數所構成的向量空間。定義\, diam(S) = sup_{x,y \in S}|x-y| \,對於有界子集\, S \subseteq R^n \,

定義\, DF \,為\, R^n \,上可微函數的雅可比矩陣。若\, S_1 \,包含其子集\, S_2 \,的閉包，則寫作\, S_2 \subset \subset S_1 \,

定理陳述
令\, \Phi : U \rightarrow V \,為 \,\mathbb{R}^n \,上開集映至開集的連續可微同胚（反函數亦可微）。假設\, \Omega \subset \subset U \,是若爾當可測集且\, f \in C(\Phi(\bar{\Omega}))。則

\Phi(\Omega) \,是若爾當可測，且若爾當面積\, A \,(\Phi(\Omega)) = \int_{\Omega} |det D \Phi (x) | \, dx

\int_{\Phi(\Omega)} f(y) \, dy \, = \int_{\Omega} f(\Phi(x)) \, |detD\Phi(x)| \, dx

證明-二維的情形
因為\, \Phi(\bar{\Omega}) \,是緊緻，則有\, \overline{\Phi(\Omega)} \subseteq \Phi(\bar{\Omega})。連續性進一步證成\, \Phi(\bar{\Omega}) = \overline{\Phi(\Omega)}。再由同胚為開映射可得

\Phi(\partial \Omega) = \Phi(\Omega) \setminus \Phi(int(\Omega)) = \overline{\Phi(\Omega)} \setminus int(\Phi(\Omega)) = \partial \Phi(\Omega)

要證明\, \Phi(\Omega) \,是若爾當可測，僅需驗證\, \Phi(\partial \Omega) \,是若爾當測度零。

考慮連續函數\, r(x) = dist(x,U^c) \,對於\, x \in \overline{\partial \Omega} \subseteq U，由極值定理可令\, min_{x \in \overline{\partial \Omega}} r(x) = m

令\, C \,為覆蓋\, \partial \Omega \,的正方形以及\, P = \{ C_i \} \,為其上的分割並滿足\, diam(C_i) 使得上和\, U(\chi_{\partial \Omega}, P) \leq 1（\, \partial \Omega \,是若爾當測度零）

注意到\, U(\chi_{\partial \Omega}, P) = \sum_j \frac{diam(C_{j})^2}{2} \,且\, C_j \cap \partial \Omega \neq \varnothing \,。令\, p_j \in \partial \Omega，有\, C_j \subseteq B_{\sqrt 2 diam(C_j)}(p_j) \subseteq B_{m} (p_j) \subseteq U

因此\, \partial \Omega \subseteq \bigcup_{i} C_i \subseteq U

令\, \Phi = (\phi_1, \phi_2)，對於任意\, \epsilon > 0，令\, P^\epsilon = \{ C_i^\epsilon\} \supset P，同時滿足上和\, U(\chi_{\partial \Omega}, P^\epsilon)

其中\, K = max_{x \in \bigcup_{i} C_i} \left( |\nabla \phi_1(x)| + |\nabla \phi_2(x)| \right) \,。一樣有\, U(\chi_{\partial \Omega}, P^\epsilon) = \sum_{j} \frac{diam(C_j^\epsilon)^2}{2}，且可令\, p_j^\epsilon \in C_j^\epsilon \cap \partial \Omega \neq \varnothing

對於x \in C_j^\epsilon，則根據均值定理、極值定理和柯西不等式有

|\Phi (x) - \Phi (p_j^\epsilon)| \leq \left( max_{x \in \cup_j C_j^\epsilon}|\nabla \phi_1(x)| + |\nabla \phi_2(x)| \right) |x - p_j^\epsilon| \leq K \sqrt 2 diam(C_j^\epsilon )

所以\, \Phi(C_j^\epsilon) \,包含於\, B_{K \sqrt 2 diam(C_j^\epsilon )}(\Phi(p_j^\epsilon)) \,的外接正方形。令這些外接正方形為\, \{ D_j^\epsilon \}，有\, \Phi(\partial \Omega) \cap \Phi(\Omega) \subseteq \bigcup_j D_j^\epsilon

因而\, \sum_{j} \frac{diam(D_j^\epsilon)^2}{2} \leq \sum_j (2 \sqrt 2 K)^2 \frac{diam(C_j^\epsilon)^2}{ 2} ，所以\, \Phi(\partial \Omega) \,是若爾當測度零，繼而\, \Phi(\Omega) \,是若爾當可測。

接著先考慮\, \Phi(x,y) = \left( x,f(x,y) \right) \,的情形。亦即\, \Phi(x,y) \,只改變一個變數。

不失一般性，由\, f \in C^1 (U)，可假設\, \partial_y f \neq 0。若非如此，則\, \partial_x f \neq 0，改考慮\, \Phi(x,y) = \left (f(x,y),y \right)

對於任意的\, \eta > 0，存在覆蓋\, \Omega \,之正方形的分割\, P^\eta = \{ C^{\eta}_i \} \,滿足上下和之差\, U(\chi_\Omega , P^\eta) - L(\chi_\Omega , P^\eta )

這裡\, \bar{K} = max_{x \in \bigcup_{i} C^{\eta}_i} \left( |\nabla \phi_1(x)| + |\nabla \phi_2(x)| \right) \,

若\, P^\eta = \{ \bar{R_i} , \bar{R_j}\} \,由\, \bar{R_i} \subset \Omega \, , \, \bar{R_j} \cap \Omega \neq \varnothing \, ,\, \bar{R_j} \cap \Omega^c \neq \varnothing \,這樣的矩形所構成，則\, \sum_j A(\bar{R_j})

同時有\, \Omega = \bigcup_i \bar{R_i} \cup \bigcup_j \left( \bar{R_j} \cap \Omega \right) \,為兩兩不相交的分割，所以\, \Phi(\Omega) = \bigcup_i \Phi(\bar{R_i}) \cup \bigcup_j \Phi\left( (\bar{R_j} \cap \Omega ) \right) \,亦為兩兩不相交的分割。

因此可得\, A(\Phi(\Omega)) = \sum_i A(\Phi(\bar{R_i})) + \sum_j A \left( \Phi ( \bar{R_j} \cap \Omega ) \right)

令\, \bar{R_i} = [a_i , b_i] \times [c_i , d_i]，易檢查\, A(\Phi(\bar{R_i})) = \int_{a_i}^{b_i} |f(x,d_i) - f(x,c_i)| \, dx

根據微積分基本定理及富比尼定理，可得

\, A(\Phi(\bar{R_i})) = \int_{a_i}^{b_i} \left( \int_{c_i}^{d_i} |\frac{\partial f}{\partial y} f(x,y)| \, dy \right) dx = \int_{\bar{R_i}} |\frac{\partial f}{\partial y} f(x,y)| \, dA = \int_{\bar{R_i}} |detD\Phi | \, dA

另外仿造前面討論\, \Phi \,映射下的矩形之行為，也有\, \sum_j A \left(\Phi ( \bar{R_j} \cap \Omega ) \right) \leq \sum_j A \left(\Phi ( \bar{R_j} ) \right) \leq 8 \bar{K}^2 \sum_j A(\bar{R_j})

注意到

\int_\Omega |detD\Phi | \, dA = \sum_i \int_{\bar{R_i}} |detD\Phi | \, dA + \sum_j \int_{ \bar{R_j} \cap \Omega} |detD\Phi| \, dA \leq \sum_i A(\Phi(\bar{R_i})) + \bar{K} \sum_j A \left( ( \bar{R_j} \cap \Omega ) \right) \leq \sum_i A(\Phi(\bar{R_i})) + \frac{\eta}{2}

因此\, |\int_\Omega |detD\Phi | dA - A(\Phi(\Omega))| \leq \eta，由\, \eta \,的任意性， 1. 在\, \Phi \,僅改變一個變數時成立。

要證 2. 成立，由積分的線性，僅需考慮非負的情形，因為\, f = max(f, 0) - min(-f, 0)

對於任意蓋住\, \Phi(\Omega) \,之正方形的分割\, P = \{ Q_i , Q_j \}（\, Q_i , Q_j \,性質如前面的\, \bar{R_i} , \bar{R_j} \,），有

U(f \chi_{\Phi(\Omega)} , P) = \sum_i sup_{Q_i}f \chi_{\Phi(\Omega)} \cdot A(Q_i) + \sum_j sup_{Q_j}f \chi_{\Phi(\Omega)} \cdot A(Q_j) \geq \sum_i sup_{Q_i}f \chi_{\Phi(\Omega)} \cdot \int_{\Phi^{-1}(Q_i)} |detD\Phi | \, dA + \sum_j sup_{Q_j}f \chi_{\Phi(\Omega)} \cdot A(Q_j \cap \Phi(\Omega))\geq \sum_i \int_{\Phi^{-1}(Q_i)} f \chi_{\Phi(\Omega)} \circ \Phi \cdot |detD\Phi | \, dA + \sum_j \int_{\Phi^{-1}(Q_j \cap \Phi(\Omega))} f \chi_{\Phi(\Omega)} \circ \Phi \cdot |detD\Phi | \, dA= \int_{\Phi^{-1}(\Phi(\Omega))} f \circ \Phi \cdot \chi_{\Phi^{-1}(\Phi(\Omega))} |detD\Phi | \, dA = \int_\Omega f \circ \Phi |detD\Phi | \, dA

所以上積分\, \bar{\int}_{\Phi(\Omega)} f \, dA \geq \int_\Omega f \circ \Phi |detD\Phi | \, dA，同理有下積分\, \underline{\int}_{\Phi(\Omega)} f \, dA \leq \int_\Omega f \circ \Phi |detD\Phi | \, dA

繼而 2. 對於一般的\, f \,和特定的\, \Phi \,成立。

對於一般的\, \Phi(x,y) = \left( u(x,y) , v(x,y) \right)，因為\, detD\Phi \neq 0，不失一般性可假設\, \partial_x u \neq 0

（\, \partial_x u , \partial_y u , \partial_x v , \partial_y v \, 至少一個非零，哪個非零僅影響後續合成函數的構造）

可將\, \Phi \,寫作\, F \,和\, G \,的合成（\, \Phi = G \circ F \,），其中

F : (x,y) \rightarrow (u(x,y), y)G : (u,y) \rightarrow (u , v \circ F^{-1}( (u,y)))

則\, F \,和\, G \,皆僅改變一個變數，且\, detDF = \partial_x u，以及連鎖律可看出\, detDG \neq 0（定義域為\, F \,的值域）。

則兩次前面結果的運用可得

A(\Phi(\Omega)) = \int_{F(\Omega)} |detDG| \, dA = \int_{\Omega} |detDG| \, |detDF| \, dA = \int_{\Omega} |detD\Phi| \, dA

所以 1. 在一般情況成立，繼而經由一樣的證明 2. 在一般情況也成立。

證明-高維的情形
連續可微同胚保持若爾當可測的證明同樣成立。（分割將正方體切成數個矩體）

唯一要修改的步驟即將\, \Phi \,寫成\, n \,個僅改變一個變數的連續可微函數之合成。

以三維為例，令\, \Phi = (u,v,w)。因為\, det\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} \neq 0，不失一般性可假設\, det\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \neq 0 \,及\, \partial_x u \, ,\, \partial_y v \neq 0

可建構\, (x,y,z) \xrightarrow F (u,y,z) \xrightarrow G (u,v,z) \xrightarrow H (u,v,w \circ F^{-1} \circ G^{-1}) \,為三個連續可微函數之合成。

勒貝格積分的變數變換
定義
令\, M^+(\Omega) \,為定義在\, \Omega \,上全體非負可測函數所構成的向量空間，而\, L^1(\Omega) \,為定義在\, \Omega \,上全體可積函數所構成的向量空間，另外\, L(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n) \,為\, \mathbb{R}^n \,上的全體線性算子所構成的向量空間，且\, GL(n,R)\,為\, L(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n) \,中可逆算子所構成的向量空間。

令\, \left( \mathbb{R}^n , \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), m_n |_{\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)} \right) \,為鮑萊耳測度空間，而\, \left( \mathbb{R}^n , \mathfrak{M}_n, m_n \right) \,為前者的完備化，即勒貝格測度空間。

符號上，detDG(x) \,及\, detD_x G \,等同\, J_G (x)

定理陳述
給定\, \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \,為一開集。令\, G=(g_1, \dots ,g_n) : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^n\,是一個連續可微同胚（反函數亦可微）。以下成立:

若\,f \in M^+(G(\Omega))\,，則\, f \circ G \in M^+(\Omega)\,

若 1. 的條件成立，且\,f \geq 0\,或\, f \in L^1(G(\Omega), \mathfrak{M}_n |_{G(\Omega)})\,，則\,\int_{G(\Omega)} f(x) \, dx = \int_{\Omega} f \circ G(x) \, |J_G (x)| \, dx \dots (*)\,

若\, E \subseteq \Omega \, , \, E \in \mathfrak{M}_n\,，則\, G(E) \in \mathfrak{M}_n \,\, \& \,\, m_n (G(E))=\int_E |J_G (x)| \, dx

證明-鮑萊耳的情形
首先證明若假設條件從勒貝格可測/可積函數、勒貝格可測集，換成鮑萊耳可測/可積函數、鮑萊耳可測集，定理結果仍然成立。

給定\,f \,是任意的鮑萊耳可測函數。因為連續函數是鮑萊耳可測，f \circ G\,也是鮑萊耳可測。

若\,f \in L^1(G(\Omega), \mathfrak{M}_n)\,或者是複值函數，則因為積分是線性映射，只需考慮其正負部或實虛部。

因此要證2.成立，只需要考慮非負鮑萊耳可測函數。

定義兩範數

\|x\|_\infty = max_{1 \leq i \leq n} |x_i| \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \forall x = (x_1, \dots ,x_n) \in \mathbb{R}^n \|T\| = max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} |T_{ij}| \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \forall \,\, T = (T_{ij}) \in L(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n) \simeq M_n(\mathbb{R})

有\, \|Tx\| \leq \|T\| \, \|x\|_\infty\,。

對於任意的\, a = (a_1, \dots , a_n) \in \mathbb{R}^n\,和\,h > 0\,，注意到\, \left( \mathbb{R}^n , \|\|_\infty \right)\,中的閉球

\,Q := \overline{B_\infty}(a,h) = \{x \in \mathbb{R}^n \, | \, \|x - a\|_\infty \leq h\} = [a_1 - h \, , a_1 + h] \times \dots \times [a_n - h \, , a_n + h]\,

對於任意\, a = (a_1, \dots , a_n)\in \mathbb{R}^n \,和\, x = (x_1, \dots , x_n) \in \overline{B_\infty}(a,h) ，根據均值定理及極值定理，存在\, y_i \in \overline{xa} \,使得

\| G(x) - G(a) \|_\infty = max_{1 \leq i \leq n}|g_i(x) - g_i(a)| = max_{1 \leq i \leq n}|(x - a) \nabla g_i (y_i) |

\leq max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^n |(x_j - a_j)| \, |\frac{\partial g_i}{\partial x_j}(y_i)| \leq h \, max_{y \in Q}\| D_y G \|

則\, G(\omega) \subseteq B(G(Q) \, , \, h \, max_{y \in Q}\|D_y G\|)\,，同時\, m_n(G(Q)) \leq (max_{y \in Q}\|D_y G\|)^n m_n(Q)\,

對於任意\, T \in GL(n,R)\,，根據連鎖律，進一步有

\,m_n(G(Q))= |detT| \, m_n (T^{-1}G(Q)) \leq |detT| \, (max_{y \in Q}\|T^{-1}D_y G\|)^n \, m_n (Q) \dots (**)\,

由\, G \,是連續的，和吉洪諾夫定理暗示\, Q \times Q \,是緊緻的，則\,h : Q \times Q \rightarrow \mathbb{R} \,定義為\, h(y,z) = \|D_y G \, D_z G^{-1} \|^n \,是均勻連續。

則對於任意\, \epsilon > 0\,，有\,\delta_0 > 0\,，使得當\,\|y - z \|_\infty ，有\, h(z,y)

透過對方塊\, Q \,做分割，可將其寫成數個兩兩不相交（僅邊界有交集）的子方塊的聯集，每一個方塊的邊長皆不足\,\delta_0

不妨寫作\, Q = \bigcup_{k = 1}^N Q_k \,，且\, Q_k \,是以\, x_k \,為球心。

則\, (**) \,和測度的次可加性，可推得

m_n(G(Q)) \leq \sum_{k = 1}^N |det \, D_{x_k} G| \, (max_{y \in Q_k} \|D_y G D_{x_j} G^{-1} \|)^n \leq (1 + \epsilon)\int_Q \sum_{k = 1}^N |det \, D_{x_k} G| \,\chi_{Q_k} (x) \, dx

對於任意\, \eta > 0，根據\, det D_x G \,的連續性，存在正實數\, \delta^{\prime} 使得\, |detD_y G - detD_z G| 成立在\, \| y - z \|_\infty

對於任意的正實數\, \delta ，將\, Q \,重新分割使得\, Q_k \,的邊長都小於\, \delta ，則

|\int_Q \sum_{k = 1}^N |det \, D_{x_k} G| \, \chi_{Q_k} (x) \, dx - \int_Q |detD_x G| \, dx = |\int_Q \sum_{k = 1}^N (|detD_{x_k} G| - |detD_x G|) \, dx|
\leq \frac{\eta}{m_n (Q) + 1} \sum_{k = 1}^N \int_Q \chi_{Q_k} (x) \, dx = \frac{\eta}{m_n (Q) + 1} m_n (Q)

（上面推導利用了 \chi_Q = \sum_{k = 1}^N \chi_{Q_k}幾乎處處和三角不等式）

換言之，\lim_{\delta \rightarrow 0} \int_Q \sum_{k = 1}^N |det \, D_{x_k} G| \, \chi_{Q_k} (x) \, dx = \int_Q |detD_x G| \, dx

再根據\, \epsilon \,的任意性，可得對於任意在\, \Omega \,的方塊\, Q \,

m_n (G(Q)) \leq \int_Q |detD_x G| \, dx \dots (***)

接下來，依序證明\, (***) \,對\, \Omega \,的開集合、相對緊緻鮑萊耳集和一般的鮑萊耳集皆成立。

首先，給定任意開集合\, U \in \Omega，有\, U = \bigcup_{l = 1}^\infty Q_l，其中\, Q_l \,如同前面是兩兩不相交的方塊。

注意到對射保持兩兩不相交的特性，則根據測度的次可加性

m_n (U) \leq \sum_{l = 1}^\infty m_n (G(U_l)) \leq \sum_{l = 1}^\infty \int_{Q_l} |detD_x G| \, dx = \int_Q |detD_x G| \sum_{l = 1}^\infty \chi_{Q_l} (x) \, dx = \int_Q |detD_x G| \, dx

再來，考慮任意相對緊緻鮑萊耳集\, K \in \Omega。

由勒貝格測度的正則性，存在嵌套的開集合\, U_1 \supset U_2 \supset \dots \,使得\, K \subseteq \bigcap_{j = 1}^\infty U_j \,且\, m_n (\bigcap_{j = 1}^\infty U_j - K) = 0

因為\, \bar{E} \in \Omega \,是緊緻的，大可假設\, U_1 \in \Omega \,是緊緻且測度有限。則\, m_n (G(U_1)) \,是有限的。

因為\, G \,是連續的，有\, G(U_j) \,收斂到\, G(\bigcap_{j = 1}^\infty U_j)

根據測度的單調性和連續性，有

m_n (G(K)) \leq m_n (\bigcap_{j = 1}^\infty G(U_j)) = \lim_{j \rightarrow \infty}m_n (G(U_j)) \leq \lim_{j \rightarrow \infty} \int_{U_j} |detD_x G| \, dx

注意到\, |detD_x G| \, \chi_{U_j}(x) \,收斂到\, |detD_x G| \, \chi_K(x)，對於\, x \notin \bigcap_{j = 1}^\infty U_j - K

因為極值定理和\, U_1 \,是有限測度，可得\, |detD_x G| \, \chi_{U_1}(x) \in L^1 (\Omega)，那麼根據控制收斂定理

m_n (G(K)) \leq \lim_{j \rightarrow \infty} \int_{\Omega} |detD_x G| \, \chi_{U_j}(x) \, dx = \int_K |detD_x G| \, dx

最後，給定任意鮑萊耳集\, E \in \Omega。注意到因為範數是連續的、閉集合交集仍為閉，和海涅-博雷爾定理，有

K_j := \lbrace x \in \Omega \,|\, \| x \|_\infty \leq j \, , \, dist(x,\Omega^c) \geq \frac{1}{j} \rbrace

是緊緻的，並且\, \Omega = \bigcup_{j = 1}^\infty K_j

因此\, E_j := E \cap K_j \,是相對緊緻，且\, E = \bigcup_{j = 1}^\infty E_j。由\, G \,是連續的，可得\, G(E_j) \,收斂到\,G(E)

測度的連續性和類似於前面控制收斂定理的操作，可得

m_n (G(E_j)) \leq \int_{E_j} |detD_x G| \, dx \Longrightarrow m_n (G(E)) \leq \int_{E} |detD_x G| \, dx

是以，(***) \,對於一般的鮑萊耳集\, E \,皆成立。

換句話說，\int_{G(\Omega)} f(x) \, dx \leq \int_{\Omega} f \circ G(x) \, |J_G (x)| \, dx \, 對於\, f = \chi_{G(E)}（此處用到\, G \,為一對射）

若\, f = \sum_{i = 1}^r a_i \chi_{A_i} \,為一非負簡單函數，其中\, a_i \,屬於非負實數，則

\int_{G(\Omega)} f(x) \, dx = \sum_{i = 1}^r a_i m_n (G(G^{-1}(A_i))) \leq \sum_{i = 1}^r a_i \int_{G^{-1}(A_i)} |detD_x G| \, dx = \int_{\Omega} \sum_{i = 1}^r a_i \chi_{G^{-1}(A_i)} (x) \, |detD_x G| \, dx = \int_{\Omega} \sum_{i = 1}^r a_i \chi_{A_i}(G(x)) \, |detD_x G| \, dx = \int_{\Omega} f \circ G(x) \, |J_G (x)| \, dx

對於\, f \,是非負的鮑萊耳可測函數，用非負簡單函數逼近\, f，再運用兩次控制收斂定理可得

\int_{G(\Omega)} f(x) \, dx \leq \int_{\Omega} f \circ G(x) \, |J_G (x)| \, dx

因此，\,(*) \,的一邊不等式得證。

對於另外一邊，將\, G \,與\, f \,各別替換為\, G^{-1} \,和\, f \circ G \, |detD_x G| （遂不改變連續可微同胚及鮑萊耳可測的假設），則

\int_{\Omega} (f \circ G)(x) \, |detD_x G| \, dx = \int_{G^{-1}(G(\Omega))} (f \circ G)(x) \, |detD_x G| \, dx \leq \int_{G(\Omega)} f (x) \, |J_G (x)| \, |J_{G^{-1}} G(x)| \, dx = \int_{G(\Omega)} f (x) \, dx

所以\, (*) \,與其特例 3. 同時得證。（在鮑萊耳的情況）

證明-勒貝格的情形
給定任意\, E \subseteq \Omega \, , \, E \in \mathfrak{M}_n \, , \, m_n(E) = 0\,

根據勒貝格測度的完備性，存在\, A \, , \, N \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \, , \, m_n(N) = 0 \,及\, B \subseteq N \,使得\, E = A \cup B \, , \, m_n(E) = m_n(A)

因為\, G(E) \subseteq G(A \cap N) \,且後者是零測度的鮑萊耳集，再次根據完備性\, G(E) \in \mathfrak{M}_n \, , \, m_n(G(E)) = 0

給定任意\, E \subseteq \Omega \, , \, E \in \mathfrak{M}_n，一樣有\, A \, , \, N \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \, , \, m_n(N) = 0 \,及\, B \subseteq N \,使得\, E = A \cup B \, , \, m_n(E) = m_n(A)\,

特別地，\, B \in \mathfrak{M}_n \, , \, m_n(B) = 0，上一段的分析顯示\, m_n(G(B)) = 0

因此\, m_n(G(A)) = m_n(G(A) \cup G(B)) = m_n(G(A \cup B)) = m_n(G(E))\,

另一方面

m_n(G(A)) = \int_A |J_G(x)| \, dx = \int_{\mathbb{R}^n} |J_G(x)| \, \chi_A (x) \, dx = \int_{\mathbb{R}^n} |J_G(x)| \, \chi_E (x) \, dx= \int_E |J_G(x)| \, dx\,

所以 2. 成立。

給定任意勒貝格可測函數\, f : G(\Omega) \longrightarrow \mathbb{R}^n ，存在鮑萊耳可測函數\, \bar{f} : G(\Omega) \longrightarrow \mathbb{R}^n \,使得\, f = \bar{f} \,幾乎處處，且

\int_{G(\Omega)} \bar{f} \, dx = \int_{G(\Omega)} f \, dx

（該性質顯然對特徵函數成立，同理可依序證得對於簡單函數、非負可測函數、一般可測函數和複值函數皆成立，惟積分的等式需假設等號右邊為一擴展實數，但 2. 的假設條件已足以保證該前提）

則存在\, N\ \in \mathfrak{M}_n \, , \, m_n(N) = 0 \,使得\, f = \bar{f} \, 成立在\, G(\Omega) \setminus N

因為\, f(G) = \bar{f}(G) \,成立在\, \Omega \setminus G^{-1}(N) \,且\, G^{-1}(N) \in \mathfrak{M}_n \,，以及\, m_n(G^{-1}(N)) = 0 ，有\, f(G) \,是勒貝格可測函數。

所以 1. 成立。（\, \bar{f}(G) \,是鮑萊耳可測，繼而是勒貝格可測）

此外

\int_{G(\Omega)} f \, dx = \int_{\Omega} f \circ G \, |J_G(x)| \, dx = \int_{\Omega \setminus G^{-1}(N)} f \circ G \, |J_G(x)| \, dx = \int_{\Omega \setminus G^{-1}(N)} \bar{f} \circ G \, |J_G(x)| \, dx = \int_{\Omega} f \circ G \, |J_G(x)| \, dx

所以\, (*) \,成立。

參考文獻