非線性濾波器

在信號處理中，非線性滤波器是指其输出不是输入的線性函数的滤波器。也就是说，如果滤波器對於两個输入信号和分别输出信号和 ，但當输入是線性组合 时，它并不總是输出 。

連續域滤波器和離散域滤波器都可能是非線性濾波器。前者的简单範例包括：一個其输出电压在任何时刻都是输入电压的平方之电子设备，或是，輸入电壓被限制在一個固定范围内，即 。後者的一個重要例子是运行中值滤波器，其中每個输出样本都是最後三個输入样本的中值。與線性滤波器一样，非線性滤波器也可能具有或不具有非時变性，

非線性滤波器应用广泛，尤其是在去除某些非加性噪声方面。例如，中值滤波器常用於去除尖峰噪声——这种噪声虽然只影响一小部分样本，但影响量可能非常大。事实上，所有无線电接收机都使用非線性滤波器将千赫兹到吉赫兹的信号转换为音频频率范围；所有数字信号处理都依赖於非線性滤波器（類比數位轉換器）将類比信號转换为二進位数。

然而，非線性滤波器比線性滤波器更难使用和设计，因为信号分析中最强大的数学工具（例如脉冲响应和频率响应）无法应用於非線性信号。因此在現實應用場景下通常使用線性濾波器来消除非線性過程產生的噪聲和失真。

線性系统
線性系统由幾個原则定義。線性的基本定义是输出必须是输入的線性函数，即：

: \alpha y_1(t) + \beta y_2(t) = H \left \{ \alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \right \}

對於任何标量值\alpha \,和\beta \,这是線性系统設計的一個基本特性，称为叠加原理。因此，如果該方程不成立，则称該系统為非線性系统。也就是说，當系统为線性系统时，叠加原理可以应用。正是由於这一重要特性，線性系统分析技術才得以如此发展完善。

應用
降噪
信號在傳輸或处理過程中经常會受到干擾；滤波器设计的一個常見目标是恢复原始信號，这個過程通常被称为“噪声去除”。最简单的干扰类型是加性噪声，即所需信号S被一個与S没有任何已知关联的干扰信号N所叠加。如果噪声N具有简单的统计特性，例如高斯噪声，那么卡尔曼滤波器可以根据有噪信道编码定理降低N并恢复S。特别地，如果S和N在频域上没有重叠，则可以使用線性带通滤波器将它們完全分离。

另一方面，對於幾乎任何其他形式的噪声，都需要某种非線性滤波器才能最大限度地恢复信号。例如，對於乘性噪声（与信号起相乘作用而不是相加），可能只需将输入转换为對数尺度，应用線性滤波器，然后将结果转换回線性尺度即可。在本例中，第一步和第三步是非線性的。

当信号的某些“非線性”特徵比整体信息内容更重要时，非線性滤波器也很有用。例如，在数字图像处理中，人們可能希望保留照片中物體輪廓边缘的清晰度，或者掃描图纸中線条的连通性。線性降噪滤波器通常會模糊这些特征；非線性滤波器可能會给出更令人满意的结果（即使从信息论的角度来看，模糊的图像可能更“正确”）。

许多非線性噪声消除濾波器在時域中工作。它們通常會检查每個样本周围有限窗口内的输入数字信号，并使用某种统计推断模型（隐式或显式地）来估计該点处原始信号的最可能值。这类滤波器的设计在估计理论和控制理论中被称為随机過程的滤波问题。

非線性滤波器的例子包括：

• 锁相环
• 混頻器
• 中值滤波器

非線性滤波器在图像处理功能中也占据着至关重要的地位。在典型的实时图像处理流程中，通常會包含许多非線性滤波器，用於形成、调整、检测和处理图像信息。此外，利用自适应滤波器规则生成，每种滤波器类型都可以进行参数化，使其在特定情况下以一种方式工作，而在不同的情况下以另一种方式工作。其目标涵盖了从噪声去除到特征提取等各個方面。图像数据滤波是幾乎所有图像处理系统中都會用到的标准流程。非線性滤波器是最常用的滤波器类型之一。例如，如果图像包含少量但幅度相對较高的噪声，那么中值滤波器可能更为合适。

Kushner-Stratonovich滤波
本文从随机過程理论的角度阐述了非線性滤波问题。在此背景下，随机信号和含噪声的部分观测值均由连续时间随机過程描述。待估计的未观测随机信号通過非線性伊藤随机微分方程建模，而观测函数则是未观测信号的连续时间非線性变换，即受连续时间观测噪声扰动的观测值。鉴於动力学的非線性特性，适用於線性滤波器的常用频域概念不再适用，因此本文构建了基於状态空间表示的理论。给定时刻非線性滤波器的完整信息是該时刻未观测信号的概率分布，該概率分布以該时刻之前的观测历史为条件。該概率分布可能具有密度函数，其密度函数的无限维方程形式为随机偏微分方程（SPDE）。 20世纪50年代末至60年代初， Ruslan L. Stratonovich 和Harold J. Kushner 解决了該背景下的最优非線性滤波问题。最优滤波器随机偏微分方程被称为Kushner-Stratonovich 方程。1969年， Moshe Zakai提出了滤波器非归一化条件律的简化动力学方程，即Zakai 方程 。Mireille Chaleyat-Maurel 和 Dominique Michel 证明了該方程的解通常是无限维的，因此需要有限维近似。这些方法可能基於启发式算法，例如扩展卡尔曼滤波器或Peter S. Maybeck描述的假定密度滤波器 ，或者Damiano Brigo 、Bernard Hanzon和François Le Gland提出的投影滤波器 ，其中一些子族已被证明与假定密度滤波器一致 。粒子滤波器是另一种选择，它与序列蒙特卡罗方法相关。

能量轉換滤波器
能量轉換濾波器是一类非線性动态滤波器，可用於按设计方式移动能量。 能量可以转移到更高或更低的频段，扩散到设计范围内，或聚焦。能量轉移滤波器的设计方案多种多样，这为滤波器设计提供了線性设计所無法实现的额外自由度。

类型
最小值濾波器
最小值滤波器（也称为形态学图像处理中的腐蚀滤波器）是一种用於图像处理的空间域滤波器。它将图像中的每個像素替换为其相邻像素的最小值。

社区的大小和形状由结构元素定义，通常是方形或圆形遮罩。

該变换将中心像素替换为运行窗口中最暗的像素。

例如，如果文本印刷较浅，最小值濾波器會使字母变粗。

最大值滤波器
最大值滤波器（也称为形态学图像处理中的膨胀滤波器）是另一种用於图像处理的空间域滤波器。

它将图像中的每個像素替换为其相邻像素的最大值，这些相邻像素的值同样由结构元素定义。

最大值滤波器和最小值滤波器具有非時变性。最小值滤波器将中心像素替换为运行窗口中最暗的像素，而最大值滤波器则将其替换为最亮的像素。

例如，如果用粗笔画了一串文字，你可用最大值濾波器把符号画得更细一些。

参见

• 移动视界估计
• 非線性系统
• 粒子過滤器
• 非線性滤波问题

参考資料
外部链接

• [https://web.archive.org/web/20120412005047/http://personal.systemsbiology.net/ilya/NONLINEAR.htm 伊利亚·什穆列维奇教授关于非线性信号处理的页面]