極零點圖是数学、信号处理和控制理论領域的詞語，是用圖示的方式表示复平面上的有理传递函数，用標示零點和極點個數和位置的方式，可以顯現系統的特性，例如：
- 有界輸入有界輸出穩定性
- 因果系统 / 反因果系統
- 收敛半径（ROC）
- 最小相位 / 非最小相位
可以將z平面映射到s平面，其中線性控制系統不穩定極點的區域以灰色表示]]
極零點圖可以表示动力系统（例如控制器、補償器、感測器、等化器、濾波器等）传递函数其极点和零點的位置。一般的慣例，會將系統的極點用x表示，而零點用圓圈或是O表示。
極零點圖繪製在複變頻率的定义域內，可以表示連續時間系統，也可以表示離散時間系統。
- 連續時間系統會使用拉普拉斯变换，會將極零點圖畫在s平面上：s = \sigma + j \omega。
** 實頻率是在其縱軸上（其虛軸為s {=} j \omega，\sigma{=}0為零）
- 離散時間系統會使用Z轉換，會將極零點圖畫在z平面上z = A e^{j\phi}。
** 實頻率是在单位圆上。
連續時間系統
一般來說，連續時間的线性时不变系统，其傳遞函數為有理函數，型式如下：
H(s) = \frac{B(s)}{A(s)}
= { \displaystyle\sum_{m=0}^M {b_m s^m}
\over
s^N + \displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} {a_n s^n} }
= \frac
{b_0 + b_1 s + b_2 s^2 + \cdots + b_M s^M}
{a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \cdots + a_{(N-1)} s^{(N-1)} + s^N}
其中
- B和A是s的多項式,
- M是分子多項式的次數
- b_m是分子多項式第m次方的係數
- N是分母多項式的次數
- a_n是分子多項式第n次方的係數
其中M或N都可以為0，但在實際系統，會有M \le N的限制，不然，在高頻時其增益會沒有上限的持續上昇。
極點與零點
- 系統的零點是分子多項式的根：s = \{ \beta_m \mid m \in 1, \ldots M \} such that B(s)|_{s = \beta_m} = 0
- 系統的極點是分母多項式的根： s = \{ \alpha_n \mid n \in 1, \ldots N \} such that A(s)|_{s = \alpha_n} = 0.
收敛區間
連續時間系統的傳遞函數，其收敛區間（ROC）是半平面或是垂直條帶，其中都不會包括極點。一般而言收敛區間不唯一，傳遞函數的收敛區間會視系統是否是因果系统而定。
- 若收敛區間包括虚軸，此系統是有界輸入有界輸出穩定性。
- 若收敛區間從最大實部極點往右延伸（但不到無限大），此系統為因果系统。
- 若收敛區間從最小實部極點往左延伸（但不到負無限大），此系統為反因果系统。
一般會選擇讓收敛區間包括虛軸，因為對於實際系統而言，滿足有界輸入有界輸出穩定性是很重要的。
舉例
H(s) = \frac{ 25 }{ s^2 + 6s + 25 }
系統沒有零點，有兩個極點： s = \alpha_1 = -3 + 4j and s = \alpha_2 = -3 - 4j
其極零點圖為：
這兩個根互為共轭复数，這是其微分方程要有實係數的充份必要條件。
離散時間系統
一般來說，離散時間的线性时不变系统，其傳遞函數為有理函數，型式如下：
H(z) = \frac{P(z)}{Q(z)} = \frac
{ \displaystyle\sum_{m=0}^M {b_m z^{-m}}}
{1 + \displaystyle\sum_{n=1}^N {a_n z^{-n}}}
= \frac
{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} \cdots + b_M z^{-M}}
{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} \cdots + a_N z^{-N}}
- M是分子多項式的次數
- b_m是分子多項式第m次方的係數
- N是分母多項式的次數
- a_n是分子多項式第n次方的係數
M或N都可以為0
極點與零點
- 使P(z)|_{z = \beta_m} = 0 的z = \beta_m是系統的零點。
- 使Q(z)|_{z = \alpha_n} = 0的z = \alpha_n是系統的極點。
收敛區間
離散時間系統的傳遞函數，其收斂區間是圆盘或是环形，其中沒有未消掉的極點。一般而言，收斂區間不唯一，會依系統是否是因果系統而不同。
- 若收斂區間包括單位圓，則系統是有界輸入有界輸出（BIBO）穩定。
- 若收斂區間從大小最大（但不是無限大）的極點往外延伸，表示此系統有右側脈衝響應。若收斂區間從大小最大的極點往外，且在無窮遠處沒有極點，表示系統為因果系統。
- 若收斂區間從大小最小（不為零）的極點往內延伸，此系統為反因果系統。
一般會使收斂區間包括單位圓，因為界輸入有界輸出（BIBO）穩定是實際系統很重要的特性。
舉例
若P(z)和Q(z)都完全因式分解，可以在z-平面上繪出極零點圖。例如，假設以下的傳遞函數H(z) = \frac{z+2}{z^2+\frac{1}{4}}：
其唯一的零點在z = -2，兩個極點在z = \pm\frac{j}{2}，其中j是虛數單位.
相關條目
*根軌跡圖
*拉普拉斯变换
*Z轉換
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