在數學和數值分析裡， Ricker 小波
:\psi(t) = {2 \over {\sqrt {3\sigma}\pi^{1 \over 4}}} \left( 1 - {t^2 \over \sigma^2} \right) e^{-t^2 \over 2\sigma^2}
是对高斯函數的二阶导数进行取反并归一化的结果，也就是能夠縮放正規化的第二埃爾米特函數。在連續小波的家族當中，埃爾米特小波是個非常特別的存在（應用在連續小波轉換稱作埃爾米特轉換）。Ricker子波經常被採用來模擬地震數據，並作為在計算電動力學的廣譜源項。它通常只在美國才會被稱作墨西哥帽小波，因為在作为核函数處理2维圖像時，形成了墨西哥寬邊帽的形狀。 由于神經科學家David Marr 的缘故，该函数也被广泛称为 Marr wavelet 。
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\psi(x,y) = -\frac{1}{\pi\sigma^4}\left(1-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right) \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)/2\sigma^2}.
而多維一般化的墨西哥帽小波稱為高斯函數的拉普拉斯。實際上，這種小波有時會用高斯函数的差來逼近，因為它可以被分離，也因此在二維或者更多維的情況下，能够節省大量的計算時間。規模標準化拉普拉斯 ( L_1-norm) 經常被用來作為一個blob檢測和計算機視覺應用中的自動規模選擇。墨西哥帽小波也可以用Cardinal B-Slines 的微分來逼近。
墨西哥帽函數的消失動量
消失動量(vanish moment)的定義：
小波轉換中，母小波\psi (t) 盡量選越高頻(意即vanish moment大的)越好．此處先介紹消失動量(vanish moment)的定義
k階動量(k-th moment)：
m _{k} = \int_{-\infty}^{\infty} t^k\,\psi\ (t)\, dt
若m _{0} = m _{1} = m _{2} = .....=m _{p-1} =0，則我們稱母小波\psi (t) 的消失動量(vanish moment)為p
消失動量(vanish moment)越高，經內積後被濾掉的低頻成分越多．
墨西哥帽函數的消失動量(vanish moment)：
墨西哥帽函數的數學表示式:
\psi(t)=\frac{2^{5/4}}{\sqrt{3}}(1-2 \pi t^2)e^{- \pi t^2}
仔細觀察，\psi(t) 其實是高斯函數的二次微分:
\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2}, C= 常數。
而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數
\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2} \to -C4 \pi ^2 f^2 e^{- \pi f^2}
利用\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt
可以算出m_0=m_1=0, m_2 \neq 0
所以墨西哥帽函數的消失動量為2。
高斯函數p次微分的消失動量(vanish moment)：
高斯函數的p次微分的數學表示式:
\psi(t) = \frac{d^p}{dt^p}e^{- \pi t^2}
其傅立葉轉換為(j2 \pi f)^p e^{- \pi f^2} 。
利用\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt
可以算出m_0=m_1=m_{p-1}, m_p \neq 0。
所以高斯函數p次微分的消失動量為p。
同時也可以印證，墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，消失動量為2
參考文獻
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