在抽象代数中，交错代数（）是乘法不满足结合性，仅满足的代数。也就是说，我们有：
*x(xy) = (xx)y
*(yx)x = y(xx)
对于所有代数中的x和y。每一个结合代数都显然是交错的，但有些严格的非结合代数，例如八元数，也是交错的。另一方面，十六元数则不是交错的。
结合子
交错代数之所以这样命名，是因为它们正好是结合子交错的代数。结合子是一个三线性映射，由下式给出：
:[x,y,z] = (xy)z - x(yz)
根据定义，一个多线性映射是交错的，如果只要两个自变量相等，映射便为零。一个代数的左交错和右交错恒等式等价于：
:[x,x,y] = 0
:[y,x,x] = 0.
两个恒等式在一起，便意味着结合子是完全斜对称的。也就是说：
:[x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}] = \sgn(\sigma)[x_1,x_2,x_3]
对于任何置换σ。于是可以推出：
:[x,y,x] = 0
对于所有的x和y。这等价于所谓的：
:(xy)x = x(yx).
因此结合子是交错的。反过来，任何一个结合子交错的代数显然是交错代数。根据对称性，任何一个代数，只要满足以下三个恒等式中的两个：
*左交错恒等式：x(xy) = (xx)y
*右交错恒等式：(yx)x = y(xx)
*柔性恒等式：(xy)x = x(yx).
这个代数便是交错的，因此三个恒等式都满足。
一个交错的结合子总是完全斜对称的。反过来也成立，只要基域的特征不是2。
性质
阿廷定理（Artin's theorem）说明，在交错代数中，由任何两个元素生成的子代数是结合的。反过来，任何满足这个条件的代数显然是交错的。于是可以推出，在交错代数中，只含有两个变量的表达式可以不用括号写出，而又没有歧义。阿廷定理的一个推广说明，如果交错代数中的三个元素x,y,z是结合的（也就是说，[x,y,z] = 0），那么由这些元素所生成的子代数是结合的。
阿廷定理的一个推论是，交错代数都是幂结合的，也就是说，由一个元素所生成的子代数是结合的。反过来不一定成立：十六元数是幂结合的，但不是交错的。
穆方恒等式
*a(x(ay)) = (axa)y
*((xa)y)a = x(aya)
*(ax)(ya) = a(xy)a
在任何交错代数中都成立。
在一个单式交错代数中，如果乘法逆存在，那么它一定是唯一的。更进一步，对于任何可逆的元素x和所有的y，都有：
:y = x^{-1}(xy).
这等于是说，对于所有这类的x和y，结合子[x^{-1},x,y]都是零。如果x和y是可逆的，那么xy也是可逆的，其乘法逆为(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}。因此，所有可逆的元素所组成的集合在乘法运算下封闭，并形成了一个穆方圈。在交错环或代数中，这个单位元素圈与结合环或代数中的单位元素群是类似的。
应用
任何交错的除环上的射影平面都是穆方平面。
参考文献
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