经典力学裡的牛頓-歐拉方程式是描述刚体的移動動力學以及旋轉動力學。
傳統上牛顿-歐拉方程式會和兩個有關剛體的歐拉運動定律一起出現，以矩阵和行向量的形式，表示為有六個元素的單一方程。這些定律和剛體質心的運動，以及作用在剛體上力和力矩有關。
質心框架
考慮一坐標框架，其原點和物體的質心重合，而力矩作用在質心上，此座標也是惯性参考系，力和力矩和其物體運動的關係如下：
:
\left(\begin{matrix} {\mathbf F} \\ {\boldsymbol \tau} \end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix} m {\mathbf I_3} & 0 \\ 0 & {\mathbf I}_{\rm cm} \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} \mathbf a_{\rm cm} \\ {\boldsymbol \alpha} \end{matrix}\right) +
\left(\begin{matrix} 0 \\ {\boldsymbol \omega} \times {\mathbf I}_{\rm cm} \, {\boldsymbol \omega} \end{matrix}\right),
其中
:F是作用在質心的力
:m是物體質量
:I3是3×3單位矩陣
:acm是質心的加速度
:vcm是質心的速度
:τ是作用在質心的轉矩
:Icm是相對質心的轉動慣量
:ω是物體的角速度
:α是物體的角加速度
任意參考座標
考慮以固定在物體上的P點為原點的座標系，且P不和質心重合，其形式會比較複雜：
:
\left(\begin{matrix} {\mathbf F} \\ {\boldsymbol \tau}_{\rm p} \end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix} m {\mathbf I_3} & -m [{\mathbf c}]^{\times}\\
m [{\mathbf c}]^{\times} & {\mathbf I}_{\rm cm} - m[{\mathbf c}]^{\times}[{\mathbf c}]^{\times}\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} \mathbf a_{\rm p} \\ {\boldsymbol \alpha} \end{matrix}\right) +
\left(\begin{matrix} m[{\boldsymbol \omega}]^{\times}[{\boldsymbol \omega}]^{\times} {\mathbf c} \\
{[\boldsymbol \omega]}^\times ({\mathbf I}_{\rm cm} - m [{\mathbf c}]^\times[{\mathbf c}]^\times)\, {\boldsymbol \omega} \end{matrix}\right),
其中c是從P到質心的向量，以随体系（body-fixed frame）表示
而
:
[\mathbf{c}]^{\times} \equiv
\left(\begin{matrix} 0 & -c_z & c_y \\ c_z & 0 & -c_x \\ -c_y & c_x & 0 \end{matrix}\right)
\qquad \qquad
[\mathbf{\boldsymbol{\omega}}]^{\times} \equiv
\left(\begin{matrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{matrix}\right)
是反對稱的叉积矩陣。
等式的左邊包括外力的和，以及相對P點外部力矩的和，可以組成旋量理論中的。
慣性項包括在「空間慣性」矩陣中
:
\left(\begin{matrix} m {\mathbf I_3} & - m [{\mathbf c}]^{\times}\\
m [{\mathbf c}]^{\times} & {\mathbf I}_{\rm cm} - m [{\mathbf c}]^{\times}[{\mathbf c}]^{\times}\end{matrix}\right),
其慣性力包括在以下項裡：
:
\left(\begin{matrix} m{[\boldsymbol \omega]}^\times {[\boldsymbol \omega]}^\times {\mathbf c} \\
{[\boldsymbol \omega]}^\times ({\mathbf I}_{\rm cm} - m [{\mathbf c}]^\times[{\mathbf c}]^\times)\, {\boldsymbol \omega} \end{matrix}\right) .
若質心和座標系的原點不重合時，平移加速度和角加速度（a和α）會耦合，每一個都會有力和力矩的成份。
應用
牛顿-歐拉方程式是更複雜多體公式（screw theory）的基礎，描述用接頭和其他限制條件所組合剛體系統的動力學。多體問題可以用多種數值演算法求解。
相關條目
- 剛體的歐拉運動定律
- 欧拉角
*
- 離心力
參考資料
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