超度量空间是一种特殊的度量空间，其中三角不等式用d(x, z) \leq \max \{ d(x, y), d(y, z) \}来代替。有时相关的度量也称为非阿基米德度量或超度量。虽然超度量空间中的一些定理看来奇怪，它们在许多应用中都自然出现。超度量空間在數學上其中一個應用是關於p-進數的研究。

正式定义
集合M的一个超度量d（度量）是一个实值函数：

:d: M \times M \rightarrow \mathbb{R}

（其中\mathbb{R}是实数集合），使得对于所有M内的x、y和z，都有：

d(x, y) \geq 0，

d(x, y) = 0  当且仅当  x = y，

d(x, y) = d(y, x)  （对称性），

d(x, z) \leq \max \{ d(x, y), d(y, z) \}  （强三角不等式或超度量不等式）。

第四個條件可加強為當d(x, y)和d(y, z)不相等時，d(x, z) = \max \{ d(x, y), d(y, z) \}，原因如下：

首先，可以不失一般性地假定d(x, y) ，因此d(x, z) \leq \max \{ d(x, y), d(y, z) \}可變為d(x, z) \leq d(y, z)，但另一方面，d(y, z) \leq \max \{ d(x, y), d(x, z) \}，由於已經假定d(x, y) 之故，因此顯然\max \{ d(x, y), d(x, z) \}不能為d(x, y)，因此\max \{ d(x, y), d(x, z) \} = d(x, z)，所以有d(y, z) \leq d(x, z)，由於d(x, z) \leq d(y, z)和d(y, z) \leq d(x, z)兩者皆成立之故，因此有d(x, z) = d(y, z)。因此d(x, z) = \max \{ d(x, y), d(y, z) \}。

性质
从以上的定义中，我们可以推出超度量空间的一些典型的性质。例如，在超度量空间内，对于所有M内的x、y和z以及\mathbb{R}内的所有r和s，都有：

• 每一个三角形都是等腰的，也就是说，d(x, y) = d(y, z)，或d(x, z) = d(y, z)，或d(x, y) = d(z, x)。
• 球体内的每一点都是它的中心，也就是说，如果d(x, y) ，则B(x; r) = B(y; r)。
• 相交的球体互相包含，也就是说，如果B(x; r) \cap B(y; s)是非空的，则要么B(x; r) \subseteq B(y; s)，要么B(y; s) \subseteq B(x; r)。

在这里，（开）球体的概念和记法与度量空间中的球体一样，也就是说：
: B(x; r) = \{ y \in M \, | \, d(x, y) 。

• 所有的球体在诱导拓扑中都既是开集又是闭集。也就是说，开球体也是闭球体，闭球体（把换成\leq）也是开球体。

参考文献
*Set Theory and Metric Spaces, I. Kaplansky, AMS Chelsea Publishing (1977). ISBN 0-8218-2694-8