純量投影

的量值相等]]
（a1），以及a在b上的向量排斥（vector rejection，a2]]

数学裡，純量投影（scalar projection）是兩個向量之間，結果為标量的一種運算。向量\mathbf{a}在向量\mathbf{b}上的純量投影，可以用下式表示：

:s = \left\|\mathbf{a}\right\|\cos\theta = \mathbf{a}\cdot\mathbf{\hat b},

其中運算子\cdot是點積，\hat{\mathbf{b}}是\mathbf{b}方向的单位向量，\left\|\mathbf{a}\right\|是\mathbf{a}的長度，\theta是\mathbf{a}和\mathbf{b}之間的夾角。

純量投影是标量，等於\mathbf{a}在\mathbf{b}方向投影的長度，若投影和\mathbf{b}方向相反，純量投影會有負號。

將\mathbf{a}在\mathbf{b}上的純量投影，乘以\mathbf{\hat b}即可得到上述的投影向量，也稱為\mathbf{a}在\mathbf{b}上的向量投影。

以角度θ為基礎的定義
若\mathbf{a}和\mathbf{b}的夾角\theta已知，\mathbf{a}在\mathbf{b}上的純量投影可以用以下方式計算

:s = \left\|\mathbf{a}\right\| \cos \theta .（s等於圖中的\left\|\mathbf{a}_1\right\|）

在純量投影已知時，也可以用上述公式求夾角θ。

以向量a和b的定義
若不知道\theta，可以用\mathbf{a}和\mathbf{b}，配合以下的點積公式 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}，計算\theta的餘弦：
: \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{a}\right\| \left\|\mathbf{b}\right\|} = \cos \theta

依此性質，純量投影s的定義可以寫成：
: s = \left\|\mathbf{a}_1\right\| = \left\|\mathbf{a}\right\| \cos \theta = \left\|\mathbf{a}\right\| \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{a}\right\| \left\|\mathbf{b}\right\|} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{b}\right\| }\,

性質
若90^\circ ，純量投影為負。若夾角小於90°，其數值等於向量投影的大小。若向量投影用\mathbf{a}_1表示，其長度為\left\|\mathbf{a}_1\right\|，則：

: s = \left\|\mathbf{a}_1\right\| ，若0^\circ \le \theta \le 90^\circ時
: s = -\left\|\mathbf{a}_1\right\| ，若90^\circ 時

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• 向量投影

來源
*[http://www.mit.edu/~hlb/StantonGrant/18.02/details/tex/lec1snip2-dotprod.pdf Dot products - www.mit.org]
*[https://flexbooks.ck12.org/cbook/ck-12-college-precalculus/section/9.6/primary/lesson/scalar-and-vector-projections-c-precalc#:~:text=The%20definition%20of%20scalar%20projection%20is%20the%20length%20of%20the%20vector%20projection.&text=A%20scalar%20projection%20is%20given,is%20less%20than%2090%E2%88%98. Scalar projection - Flexbooks.ck12.org]
*[https://medium.com/linear-algebra-basics/scalar-projection-vector-projection-5076d89ed8a8 Scalar Projection & Vector Projection - medium.com]
*[https://www.nagwa.com/en/explainers/792181370490/ Lesson Explainer: Scalar Projection | Nagwa]

參考資料
向量運算