数学的分支范畴论中, 函子的锥为用于定义函子极限的抽象概念, 亦良好应用于范畴论的其他概念中.
定义
令 F\colon J\to C 为 \mathcal C 中的圖示. 形式上, 图示并没有比从 J 到 C 的函子拥有更多信息. 术语的更改体现于一个事实, F 建立了 \mathcal C 中对象与态射族的索引. 范畴 J 称 “索引范畴”. 应类比集合论中的理解之. 不同之处在于, 索引范畴中存在态射. 因而, 令 J 进一步为, 这一概念将更贴合集合的索引族. 另有更一般但也更有趣的例子, 取 J 为. 亦可取 J 为空范畴, 其正对应最简的锥.
令 N 为 \mathcal C 的对象. 从 N 到 F 的锥为态射族
\psi_X\colon N \to F(X)\,
对任意 J 中的对象 X, 使得每个 J
中的态射 f\colon X\to Y 有下图交换:
所有这样的三角总体 (通常无穷) 可 (一定程度上) 描述作拥有顶点 N 的几何锥体. 锥 \psi
有时亦称拥有顶点 N
与底 F
.
亦可为上述的锥定义从 F
到 N
的对偶概念 (亦称余锥), 即翻转所有态射方向. 明确而论, 从 F
到 N
的余锥为如下态射族
\psi_X\colon F(X)\to N\,
对任意 J
中的对象 X
, 使得对任意 J
中的态射 f\colon X\to Y
有下图交换:
等价说法
第一眼看去, 锥似乎在范畴论中并非那么正常的构造. 其映射物体到函子上 (或者反过来). 秉持范畴论的精神, 理应将其定义为某个合理范畴中的态射或对象, 而实际上二者均可定义.
令 J
为小范畴, 并令 \mathcal C^J
为 \mathcal C
中类型 J
的图范畴 (所携信息无外乎函子范畴). 定义\Delta\colon\,\mathcal C\to\mathcal C^J
作如下:对所有 \mathcal C
中的 N
, \Delta(N)\colon\,J\to\mathcal C
为到 N
的常函子.
若 F
为 \mathcal C
中类型 J
的图, 下列陈述等价:
- \psi
为从 N
到 F
的锥.
- \psi
为从 \Delta N
到 F
的自然变换.
- (N,\psi)
为逗号范畴 (\Delta\downarrow F)
的对象.
上述陈述亦有有关余锥的对偶表述.
这些陈述均可验证以直接验证定义. 将锥视作自然变换, 可注意到其无非以常量函子为起点或终点的 \mathcal C^J
中的态射.
锥范畴
忧伤可定义**到 F
的锥范畴**, 作为逗号范畴 (\Delta\downarrow F)
实现. 锥的态射即那个范畴的态射. 等价关系根植于常量函子 \Delta N
和 \Delta M
间的自然映射, 此常量函子对应 N,\,M
间的态射. 此时对角函子平凡作用于箭头. 顺藤摸瓜, 按同上的图写下从常量函子 \Delta N
到 F
的自然映射之定义. 位处所料, 从锥 (N,\,\psi)
到锥 (L,\,\varphi)
的态射即态射 N\to L
使得所有“明显的”图表换 (见下节第一图).
同样地, 亦可从 (F\downarrow\Delta)
定义余锥范畴.
万有锥
极限与余极限定义为万有锥. 即, 通过所有其他锥函子的锥. 从 L
到 F
的锥 \varphi
为万有锥, 若对任意其他从 N
到 F
的锥 \psi
, 总存在唯一一个从 \psi
到 \varphi
的态射.
等价地, 到 F
的万有锥为从 \Delta
到 F
的(视作 \mathcal C^J
的对象), 或 (\Delta\downarrow F)
里的终对象.
对偶地, 从 F
到 L
的锥 \varphi
为万有锥, 若对任意其他从 F
到 N
的锥 \psi
, 总存在唯一一个从 \varphi
到 \psi
的态射.
等价地, 从 F
引出的万有锥为从 F
到 \Delta
的万有态射或 (F\downarrow\Delta)
中的始对象.
F
的极限为到 F
的万有锥, 而余极限为从 F
引出的万有锥. 同于所有万有结构, 不保证对全部图 F
, 万有锥均存在, 但只要其的确存在, 那么必唯一或至多同构意义上唯一 (在逗号范畴 (\Delta\downarrow F)
中的同构).
参考文献
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范畴中的极限 范畴论
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