在数学中，具体来说在多线性代数中，交替多线性映射是所有参数都属于同一个向量空间（例如双线性形式或多线性形式）的多线性映射。若任意一对参数相等，交替多线性映射就为零。这可以直接推广到交换环上的模。

交替化的概念是指：对于任意一个所有参数都属于同一空间的多线性映射，均可通过该操作构造出一个交替多线性映射。

定义
令 R 为一交换环，V 和 W 是环上的模。若一多线性映射具有形式 f:V^n\mapsto W，则其在满足以下等价条件之一时被称为交替的：

当存在 1\le i\le n-1 使得 \mathbf{x}_i=\mathbf{x}_{i+1} 时，则 f\left(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n\right)=0。

当存在 1\le i\ne j\le n 使得 \mathbf{x}_i=\mathbf{x}_j 时，则 f\left(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n\right)=0。

向量空间
令 V 与 W 为同一个-{zh-cn:域;zh-tw:體;}-上的向量空间。则如果一个多线性映射 f:V^n\mapsto W 满足

• 若 \mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n 线性相关，则 f\left(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n\right)=0。

则称其为交替的。

例子
在李代数中，李括号是交替双线性映射。

矩阵的行列式是其行或列的交替多线性映射。

性质
如果 c 在基环 R 里，则对任意 i\ne j，将交替多线性映射的分量 \mathbf{x}_i 替换为 \mathbf{x}_i+c\mathbf{x}_j 后，映射的值不变。也就是说 若 n! 是基环 R 的可逆元，则每个反对称 n-线性形式都是交替的。

交替化
给定一个具有形式 f:V^n\mapsto W 的多线性映射，对应的交替多线性映射 g:V^n\mapsto W 可由下式定义：g\left(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n\right):=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)f\left(\mathbf{x}_{\sigma\left(1\right)},\dots,\mathbf{x}_{\sigma\left(n\right)}\right). g 称为 f 的交替化。

性质

• 交替 n-线性映射的交替化是其本身乘上 n!。
• 对称映射的交替化为零。
• 双线性映射的交替化是双线性的。

参见

• 交替代数
• 双线性映射

*

• 映射
• 多线性代数
• 多线性映射
• 多线性形式
• 对称化

参考文献