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有效数字

Wikipedia · 2025-10-21 维基百科 👁 1 阅读

有效数字（significant figures，significant digits，简写 sig figs）或有效数，用来表示量的多少，同时反映测量准确程度的各数字称为有效数字。

有效数字也是能正确表达某物理量数值和精度的一个数或近似数，后者由准确数字和可疑数字组成，或是第1位不为零的数起至第1位不确定的数止，其间的所有数字。使用有效數字表示法的意義在於：測量後所記載的數量（物理量）是一組能夠表示出測量誤差的有意義數（字）。

分类
有效数字分为两类，其中一类是一些常数(如π、e、得失电子数、方程式系数、稀释倍数等)。这些非测定值的有效数字位数可以看作无限多位，按计算式中需要而定。

运算

  • 在加减法运算中，结果以绝对误差最大的数为准，即以小数点后位数最少的数为准，确定有效数字中小数点后的位数。也就是说最后结果与小数位数最少的数据小数位数相同。

:例如：2643.0 + 987.7 + 4.187 + 0.2354 = 3635.1.

  • 乘除运算中，结果的有效数字位数与有效数字位数最少的数据相同。

:例如：409.2 km / 11.4 L = 35.9 km/L.

  • 对数的有效数字位数为小数点后数字的个数。而首数（整数部分）是真数的指数大小的反映，故不能作为有效数字。

: 例如：pH = 10.28，[H+]=5.2×10-11.

  • 取指数，按照小数点后的位数来确定有效数字的个数（个数等于位数）；
  • 科学常数和整数可以取任意位有效数字。

近似值
令x是某个数量的真值，\tilde{x}是x的近似值；x与\tilde{x}都用十进制表示。有效数字就是指x与\tilde{x}的多少位数字是一致的。确切地说，\tilde{x}有x的m位有效数字，则从x的左端非零数字所在位起，绝对误差|\tilde{x}-x|的前m个十进制数位为0，随后一位数字取值从0到5.
例如：

  • 5.1对真值5具有1位有效数字：|5.1-5|=0.1
  • 0.51对真值0.5具有1位，而不是2位有效数字：|0.51-0.5|=0.01
  • 4.995对真值5具有3位有效数字:|4.995-5|=0.005
  • 4.994对真值5具有2位有效数字:|4.994-5|=0.006
  • 1.4对真值2具有0位有效数字：|1.4-2|=0.6

如果x用科学记数法表示为
x=\Box.\Box\Box\ldots\Box\times10^n，
则\tilde{x}有x的m位有效数字，如果|x-\tilde{x}|\le 5\times 10^{n-m}。
\tilde{x}有x的m位有效数字，则二者相对误差不超过 5 \times 10 ^{-m}。

参考文献
外部連結

#算术

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