Pin群

数学中，Pin 群是一个二次型空间相伴的克利福德代数的一个子群。它有一个到正交群的 2 对 1 映射，就像 Spin 群映到特殊正交群一样。

从 Pin 群到正交群的映射不是满的也不是万有覆叠空间，但对定二次型，两者都正确。

一般定义
确定形式
确定形式的 Pin 群是到正交群的满射，每个分支都是单连通的：它是正交群的二重覆叠。正定二次型 Q 和它的负形式 -Q 不是同构的，但是正交群是同构的
。

就标准形式而言，O(n,0) = O(0,n)，但是 \mbox{Pin}(n,0) \not\cong \mbox{Pin}(0,n)。使用 Clifford 代数（这里 v^2=Q(v) \in C\ell(V,Q)）中通用的“±”号记法，我们可以写成

:\mbox{Pin}_+(n) := \mbox{Pin}(n,0) \qquad \mbox{Pin}_-(n) := \mbox{Pin}(0,n)
它们都是到 O(n) = O(n,0) = O(0,n) 的满射。

与之对比，我们有同构{{NoteTag|他们是不通代数的子代数 C\ell(n,0) \not\cong C\ell(0,n)，但是他们作为向量空间 C\ell(n,0) = C\ell(0,n) = \Lambda^ \mathbf{R}^n 的子集相等，而且带有相同的代数结构，从而他们自然同构。}} \mbox{Spin}(n,0) \cong \mbox{Spin}(0,n) 且他们都是特殊正交群 SO(n*) 惟一的万有覆叠。

不定形式
作为拓扑空间
任何连通拓扑群在拓扑意义上有惟一的万有覆叠空间，这个空间有惟一的群结构作为基本群的中心扩张。对一个不连通拓扑空间，含单位元的分支有一个惟一的万有覆叠，然后在其他分支作为拓扑空间可取同一个覆叠（这是单位分支的主齐性空间），但是其它分支的群结构一般不是惟一的。

Pin 和 Spin 群是和正交群和特殊正交群关联的独特的拓扑空间，由 Clifford 代数中得出：存在其他类似的群，对于于其他分支的其他二重覆叠或者其他群结构，但是他们不叫做 Pin 或 Spin 群，研究得也少。

结构
两个 Pin 群对应于中心扩张
:1 \to \{\pm 1\} \to \mbox{Pin}_\pm(V) \to O(V) \to 1
\mbox{Spin}(V)（行列式为 1 的分支）上的群结构已经定义好了；其余分支的群结构由中心确定，从而有一个 \pm 1 分歧。

两个扩张由一个反射的原像的平方是 \pm 1\in \ker \left(\mbox{Spin}(V) \to SO(V)\right) 区分，这两个 Pin 群即是这样命名的。明确地说，一个反射在 O(V) 中的指数为 2，r^2=1，所以反射的原像的平方（具有行列式 1）一定在 \mbox{Spin}_\pm(V) \to SO(V) 的核中，所以 \tilde r^2 = \pm 1，两种选择都确定了一个 Pin 群（因为所有反射共轭于联通群 SO(V) 的中一个元素，所有反射的平方一定具有相同值）。

具体地，在 \mbox{Pin}_+ 中，\tilde r 的指数为 2，子群 \{1,r\} 的原像是 C_2 \times C_2：如果我们重复同一个反射，得到恒同。

在 \mbox{Pin}_- 中，\tilde r 的指数为 4：
如果重复同一个反射两次，我们得到了一个“旋转 2π”——\mbox{Spin}(V) \to SO(V) 中的非平凡元可以理解为“旋转 2π”（每一个轴得出相同的元素）。

低维数
在 2 维，\mbox{Pin}_+ 与 \mbox{Pin}_- 的区别反映了一个正 2n 边形的二面体群和循环群 C_{2n} 的区别。

在 \mbox{Pin}_+ 中，一个正 2n 边形的二面体群的原像，视为子群 \mbox{Dih}_n ，是 2n 边形的二面体群 \mbox{Dih}_{2n} ；然而在 \mbox{Pin}_- 中二面体群的原像是循环群 \mbox{Dic}_n

在 1维，Pin 群共轭于第一个二面体群和循环群：
:\begin{align}
\mbox{Pin}_+(1) &\cong C_2 \times C_2 = \mbox{Dih}_1\\
\mbox{Pin}_-(1) &\cong C_4 = \mbox{Dic}_1
\end{align}

中心
不定 Pin 群
Spin(p,q) 有八种不同的二重覆叠，对 p,q\neq 0，这对应于用 C_2 中心扩张（中心不是 C_2 \times C_2 就是 C_4）。只有其中两个称为 Pin 群，他们可以将 Clifford 代数作为一个表示。他们分别称为 Pin(p,q) 和 Pin(q,p)。

命名
这个群的名称在 迈克尔·阿蒂亚、拉乌尔·博特、A. Shapiro：
Clifford modules（Topology 3, suppl. 1 (1964), pp. 3-38, on page 3, line 17）一文中引入，他们说“这个笑话归于 J-P. Serre”。这是“Spin”的逆构词法：Pin 之于 Spin 就像 O(n) 之于 SO(n)，从而从“Spin”中去掉“S”得到“Pin”。进一步，词“Pin”的法语发音和一个粗痞话相同，这暗示了这个名称的起源于（或被归于）塞尔。

注释
参考文献