静应力

在连续介质力学中，静应力也称为各向同性应力或体积应力，是應力的一个分量，其中包含，但不包括剪應力。静应力的一种特殊形式为各向同性压缩应力，它仅改变体积，而不改变形状。
\sigma_h = \frac{I_i}{3}= \frac 1 3 \operatorname{tr} (\boldsymbol \sigma)

例如在笛卡儿坐标系 (x,y,z) 中，静应力简化为：

\sigma_h = \frac{\sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz}}{3}

静应力与热力学压强
在不可壓縮流体特例中，热力学压强与机械压强（即静应力的相反数）相一致：p = - \sigma_h = - \frac 1 3 \operatorname{tr} (\boldsymbol \sigma)

在可壓縮流体的一般情况下，热力学压强p不再与各向同性应力项（机械压强）成正比，因为还需加上与应变率张量的迹有关的项：

p = - \frac 1 3 \operatorname{tr} (\boldsymbol \sigma) + \zeta \operatorname{tr} (\boldsymbol \epsilon)

其中系数\zeta为体积黏度。应变率张量的迹对应流动的压缩度（即流速散度）：

\operatorname{tr} (\boldsymbol \epsilon) = \operatorname{tr} \left(\frac 1 2 (\nabla \mathbf u + (\nabla \mathbf u)^T) \right) = \nabla\cdot\mathbf{u}

因此热力学压强常写为：

p = - \sigma_h + \zeta \nabla\cdot\mathbf{u} = \bar p + \zeta \nabla\cdot\mathbf{u}

其中机械压强记作\bar p。在某些情况下，可假定第二黏度\zeta为常数，此时机械压强与热力学压强不再相同：

\bar{p} \equiv p - \zeta \, \nabla \cdot \mathbf{u} ,

然而在大多数情况下（即非声波吸收或冲击波衰减过程，此时第二黏度系数才重要），常显式设\zeta = 0，此假设称为斯托克斯假说。对于单原子气体，可通过实验和动理论验证该假说；对于其他气体和液体，该假说通常不成立。

流体中的外场势
在流体中，其大小\sigma_h可由斯特文定律表示：

\sigma_h = \displaystyle\sum_{i=1}^n \rho_i g h_i

其中

表示每一层材料的索引；
\rho_i为各层的密度；
g为重力加速度（此处假定恒定；亦可替换为任何定义重量所需的加速度）；
h_i为每层材料的高度或厚度。

例如，在十米深的淡水下某点所受静应力为：

: \sigma_h = \rho_w g h_w =1000 \,\text{kg m}^{-3} \cdot 9.8 \,\text{m s}^{-2} \cdot 10 \,\text{m} =9.8 \cdot {10^4} \text{ kg m}^{-1} \text{s}^{-2} =9.8 \cdot 10^4 \text{ N m}^{-2}

其中下标表示“水”（water）。

由于静应力为各向同性，应力在各方向相等。其张量形式为：

: \sigma_h \cdot I_3 =
\sigma_h \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{ccc}
\sigma_h & 0 & 0 \\
0 & \sigma_h & 0 \\
0 & 0 & \sigma_h \end{array} \right]

其中I_3为3×3的單位矩陣。

静态压缩应力亦用于材料体积模量的测定。

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