表面码（）是一种重要且极具前景的量子纠错码（QECC），属于稳定子码和拓扑量子纠错码（）的范畴。表面码因其具有较高的容错阈值、仅需最近邻相互作用以及对实际量子计算机硬件平台（特别是二维布局的量子比特阵列）的良好适应性而受到广泛研究。其核心思想是将逻辑量子比特的信息编码到分布于二维平面（“表面”）上的大量物理量子比特中，并通过测量局域的稳定子算符来检测和纠正发生的错误。这种编码方式使得逻辑信息受到拓扑性质的保护，对局域物理错误具有天然的鲁棒性。表面码被普遍认为是构建大规模容错量子计算机最有希望的候选方案之一。，这是一种在具有周期性边界条件（环面拓扑）的二维晶格上定义的拓扑量子纠错码。随后，谢尔盖·布拉维伊（Sergey Bravyi）和基塔耶夫于1998年研究了具有开放边界（平面）的晶格，从而发展出严格意义上的表面码。自那时起，表面码因其优越的性能和对实验实现的友好性，吸引了大量的理论和实验研究，包括对其容错阈值的精确计算、逻辑门操作方案的优化以及在各种物理系统中的实验验证。在存在偏置噪声（例如，Z 错误远多于 X 或 Y 错误）的情况下，特定设计的表面码变体（如XZZX码）可以展现出更高的阈值。
解码
从测得的错误综合征推断出最可能发生的物理错误（或等效的错误链），并确定相应的校正操作（通常是应用泡利算符）的过程称为解码（）。解码器的效率和准确性对表面码的整体性能至关重要。
由于表面码的错误检测可以映射到二维或三维（如果考虑时间上的错误传播）的匹配问题，最小权完美匹配（）算法是表面码（特别是对于独立错误模型）最常用且非常有效的解码器之一。解码器的选择和优化是表面码研究中的一个活跃领域。
主要变体
为了优化性能、降低资源开销或适应特定硬件特性，已提出多种表面码的变体：
;旋转表面码（） :通过将标准方格晶格旋转45度进行布局，可以在保持相同码距（纠错能力）的前提下，将所需的物理量子比特数量减少大约一半
;XZZX表面码 / XY表面码 :这些是表面码的变体，其稳定子定义与标准表面码不同。例如，XZZX表面码使用形如 XZZX 的混合泡利算符作为其面算符（或顶点算符，取决于具体构造），而XY表面码则可能在其稳定子中包含 Y 算符。
逻辑门操作
在编码的逻辑量子比特上执行计算操作是容错量子计算的关键。表面码支持一套通用的逻辑门操作，但不同类型的门实现方式和资源开销有所不同。
;克利福德门（） :包括Hadamard门（H）、S门（相位门）、CNOT门、CZ门等。在表面码中，许多克利福德门可以通过编码形变（，也称辫操作或缺陷编织）或晶格手术（）等技术相对高效地实现。晶格手术是一种强大的技术，它通过合并（）和分割（）不同的表面码片元（）来执行逻辑门。例如，通过特定方式合并和分割两个分别编码逻辑量子比特的表面码片元，可以实现逻辑CNOT门。这些操作通常可以保持容错性，即操作过程中发生的物理错误也可以被检测和纠正。。在表面码中，非克利福德门通常不能直接通过简单的编码形变或晶格手术容错地实现。。魔法态蒸馏过程利用大量的克利福德操作和测量，从多个带有噪声的“魔术态”（例如 T 门的本征态 |T\rangle = (|0\rangle + e^{i\pi/4}|1\rangle)/\sqrt{2}）副本中，概率性地提纯出少量高保真度的魔术态。随后，这些高保真度的魔法态可以通过门隐形传态（）的方式与克利福德操作结合，间接实现非克利福德逻辑门，如 T 门。由于魔法态蒸馏对物理量子比特和操作时间均有巨大开销，优化其效率是降低容错量子计算整体资源需求的关键研究方向。
;逻辑测量 :逻辑量子比特的测量可以通过测量构成相应逻辑泡利算符（如Z_L或X_L）的所有物理量子比特来完成。测量结果需要进行解码以排除测量过程中可能发生的错误。，进而简化了器件设计并被Google、中国科学技术大学等团队采用。加之其受益于如最小权完美匹配（MWPM）等相对简单且高效成熟的解码算法，这些算法能利用错误的几何特性，在实践中表现接近最优并已实现实时解码 ，例如在0.1%物理错误率下，可能需要1000至10000个物理量子比特。其编码率随码距 d 以约 1/d^2 的速度下降 ，构建大规模量子计算机需要相当大的资源消耗。另一项关键挑战在于表面码对特定的关联错误较为敏感。尽管它对独立的泡利错误具有良好鲁棒性，但在面对空间或时间上存在统计相关性的错误时，其性能可能显著下降 。某些关联错误模式甚至可能“灾难性地”影响逻辑错误率的指数级抑制，导致逻辑错误率不再随码距增加而改善，形成“本底噪声” 。
参见
- 量子纠错
- 稳定子码
- 环面码（Toric Code）
- 颜色码（Color Code）
- 拓扑量子计算
- 容错量子计算
- 量子阈值定理
- 阿列克谢·基塔耶夫
参考文献
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