岩泽分解

数学中，半单李群的岩泽分解 KAN 推广了实方阵能写成一个正交矩阵和上三角矩阵的乘积（格拉姆-施密特正交化之推论）。以创立者日本数学家岩泽健吉命名。

定义
*G 是一个连通半单实李群。

• \mathfrak{g}_0 是 G 的李代数。
• \mathfrak{g} 是 \mathfrak{g}_0 的复化。

*θ 是 \mathfrak{g}_0 的一个嘉当对合。

• \mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 \oplus \mathfrak{p}_0 是相应的嘉当分解。
• \mathfrak{a}_0 是 \mathfrak{p}_0 的一个极大阿贝尔子空间。

*Σ 是 \mathfrak{a}_0 的限定根，对应于 \mathfrak{a}_0 作用在 \mathfrak{g}_0 上的特征值。
*Σ+ 是 Σ 的正根。

• \mathfrak{n}_0 是由 Σ+ 的根空间的和给出的幂零李代数。

*K,A, N 分别是由 \mathfrak{k}_0, \mathfrak{a}_0 和 \mathfrak{n}_0 生成的子群。

那么， \mathfrak{g}_0 的岩泽分解为
:\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{k}_0 + \mathfrak{a}_0 + \mathfrak{n}_0，
G 的岩泽分解为：
:G=KAN

A （或等价的 \mathfrak{a}_0 ）的维数称为 G的实秩 。

岩泽分解对一些不连通半单李群G 也成立，此时 K 为（不连通）极大紧子群并假定 G 的中心有限。

例子
如果 G=GLn(R)，那么可取 K 为正交矩阵，A 为正对角矩阵，N 为幂幺群（对角元全1的上三角矩阵）。

参见
*李群分解

参考文献
*
A. W. Knapp, Structure theory of semisimple Lie groups*, in ISBN 0-8218-0609-2: Representation Theory and Automorphic Forms: Instructional Conference, International Centre for Mathematical Sciences, March 1996, Edinburgh, Scotland (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics) by T. N. Bailey (Editor), Anthony W. Knapp (Editor)

*岩泽健吉，On some types of topological groups. Annals of Mathematics (2) 50, (1949), 507–558.