玫瑰线

玫瑰线是极坐标系中的正弦曲线，可以用以下的方程来表示：
:\!\,r=\cos(k\theta).
如果k是偶数，玫瑰线就有2k个瓣，如果k是奇数，则有k个瓣。

如果k是有理数，玫瑰线就是封闭的，其长度有限。如果k是无理数，则曲线不是封闭的，长度为无穷大。在这种情况下，玫瑰线的图形便形成了一个稠密集。

由于对于所有的\theta，都有：
:\sin(k \theta) = \cos\left( k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( k \left( \theta-\frac{\pi}{2k} \right) \right)
因此由以下方程所确定的玫瑰线
:\,r=\sin(k\theta)和\,r = \cos(k\theta)
除了角度的不同以外，是全等的。

面积
由以下方程所确定的玫瑰线
:r=a \cos (k\theta)\,
其中k是正整数，具有面积：
:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2}

如果k是偶数；
:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4}

如果k是奇数。

相同的公式也适用于以下形式的玫瑰线：
:r=a \sin (k\theta)\,

参见
*利萨茹曲线
四叶线──k*=2时的玫瑰线。

外部链接
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