克罗内克符号

数论中，克罗内克符号写作\left(\frac an\right)或(a|n)，是雅克比符号对全体整数n的推广。首先被利奥波德·克罗内克提出。

定义
如果n是一个非零整数，具有质因子分解

:u \cdot {p_1}^{e_1} \cdots {p_k}^{e_k},

这里u是一个单位(例如, u为1或−1)，并且pi是质数。a是一个整数。那么克罗内克符号(a|n)定义为

: \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{u}\right) \prod_{i=1}^k \left(\frac{a}{p_i}\right)^{e_i}.

对于奇素数pi, (a|pi) 与通常的勒让德符号相等。当pi = 2。 定义(a|2)为

: \left(\frac{a}{2}\right) =
\begin{cases}
0 & \mbox{if }a\mbox{ is even,} \\
1 & \mbox{if } a \equiv \pm1 \pmod{8}, \\
-1 & \mbox{if } a \equiv \pm3 \pmod{8}.
\end{cases}

这使得它是雅克比符号的推广，(a|u)的值在u = 1时为1。在u = −1时，定义

: \left(\frac{a}{-1}\right) = \begin{cases} -1 & \mbox{if }a

最终我们加上：

:\left(\frac a0\right)=\begin{cases}1&\text{if }a=\pm1,\\0&\text{otherwise.}\end{cases}

这些扩展足以将克罗内克符号覆盖所有的整数n。