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最小偏向角

Wikipedia · 2025-06-08 维基百科 👁 1 阅读

在稜鏡中，偏向角（）隨著入射角（）的增加而减小，直到達到特定角度。稜鏡中偏向角最小的入射角稱為稜鏡的「最小偏向位置」，而該偏向角稱為最小偏向角（由、或)。

最小偏向角與折射率的關係如下：

n_{21} = \dfrac{\sin \left(\dfrac{A + D_{m}}{2}\right)}{\sin \left(\dfrac{A}{2}\right)}

這對於計算材料的折射率很有用。彩虹和光暈出現在最小偏向處。此外，薄稜鏡始終設定為最小偏向。

公式
在最小偏向下，稜鏡中的折射光線平行於其底部。換句話說，光線對於稜鏡的對稱軸是對稱的。

\therefore D_m = 2 \sin^{-1} \left(n \sin \left(\frac{A}{2}\right)\right) - A

（此處是折射率，是稜柱的角度， 是最小偏向角。）

這是一種方便的方法，用於量測才料（液體或氣體）的折射率，方法是將光線以最小偏向穿過填充有材料的稜鏡或浸入其中的玻璃稜鏡，稜鏡的厚度可以忽略不計。

舉個例子：

答案：37°, 49°

解決方案：
在這裡，,

將它們代入上述公式，

\frac{\sin \left(\frac{60 + \delta}{2} \right)}{\sin \left(\frac{60}{2} \right)}= 1.5

\implies \frac{\sin \left(30 + \frac{\delta}{2} \right)}{\sin(30)}= 1.5

\implies \sin \left(30 + \frac{\delta}{2} \right) = 1.5 \times 0.5

\implies 30 + \frac{\delta}{2} = \sin^{-1}(0.75)

\implies \frac{\delta}{2} = 48.6 - 30

\implies \delta = 2 \times 18.6

\therefore \delta \approx 37^\circ

此外，

i = \frac{(A + \delta)}{2} = \frac{60 + 2 \times 18.6}{2} \approx 49^\circ

這在下圖中也很明顯。

答案：60°

解決方案：

在這裡，
\delta = r

\implies \delta = \frac{A}{2}

使用上述公式，
\frac{\sin \left(\frac{A + \frac{A}{2}}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2} \right)}= 1.4

\implies \frac{\sin \left(\frac{3A}{4} \right)}{\sin \left(\frac{A}{2} \right)}= \frac{\frac{1}{2}}{ \frac{1}{\sqrt 2}}

\implies \frac{\sin \left(\frac{3A}{4} \right)}{\sin \left(\frac{A}{2} \right)}= \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}

\therefore A = 60^\circ

此外，偏向角隨任意入射角的變化，可以概括為一個方程式，通過將δ表示為 ，在使用司乃耳定律的稜鏡公式中：

\delta = i - A + \sin^{-1} \left(n \cdot \sin\left(A - \sin^{-1}\left(\frac{\sin i}{n}\right)\right)\right)=f(i)(say)

找到該方程的最小值也將給出與上述最小偏向相同的關係。

放f'(i)=0，我們得到，

\frac{\cos\left(A-\sin^{-1}\left(\frac{\sin i}{u}\right)\right)\cos i}{\sqrt{\left(1-u^{2}\sin^{2}\left(A-\sin^{-1}\left(\frac{\sin i}{u}\right)\right)\right)\left(1-\frac{\sin^{2}i}{u^{2}}\right)}}=1，通過求解該方程，我們可以得到稜鏡角度一定值的入射角值和稜鏡的相對折射率值，從而得到最小偏向角。給出了方程和描述[https://www.desmos.com/calculator/0jkerecdx3 here] 。

適用於薄稜鏡
在薄或小角度稜鏡中，隨著角度變得非常小，角度的正弦幾乎等於角度本身，這產生了許多有用的結果。

因為和都非常小，

\begin{align}
n & \approx \dfrac{\frac{A + D_{m}}{2}}{\frac{A}{2}}\\
n & = \frac{A + D_m}{A}\\
D_m & = An - A
\end{align}

\therefore D_{m} = A(n - 1) 。

最小色散角
白光的最小色散角是通過稜鏡的紅光和紫光之間光線的最小偏向角的差。

它還負責光暈和幻日等現象，這些現象是由六角冰晶迷你稜鏡中的太陽光在空氣彎曲光中的偏向產生的，最小偏向為22°。

相關條目

  • 稜鏡
  • 折射
  • 幾何光學

參考資料
外部連結

#光 #幾何光學

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