克拉克變換（Clarke transformation）也稱為\alpha\beta\gamma變換，是電機工程學裡簡化三相電分析的數學，常用在三相逆變器的控制上，可以將平衡的三相系統轉換為互相垂直的二相系統，方便信號的處理。
克拉克變換和派克变换（park transform）都是簡化三相電分析用的數學變換，在電機控制時也常一起使用。
歷史
在1937年和1938年發表了應用在不平衡三相電力系統的變換及計算，此方法可以簡化計算。
定義
伊迪絲·克拉克用在三相電流的克拉克變換如下：
:i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}
其中
:i_{abc}(t)是一般的三相電流
:i_{\alpha\beta\gamma}(t)是經T變換後所得的電流
逆變換為：
:i_{abc}(t) = T^{-1}i_{\alpha\beta\gamma}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1\\
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.
上述的克拉克變換保持了電機變數的量值。考慮以下對稱的三相電流信號
:
\begin{align}
i_a(t)=&\sqrt{2}I\cos\theta(t),\\
i_b(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)-\frac23\pi\right),\\
i_c(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)+\frac23\pi\right),
\end{align}
其中
:I是i_a(t)、i_b(t)和i_c(t)的平方平均数
:\theta(t)是隨時間變化的角度，可以表示為\omega t。
將上述三相電流信號進行變換，可得
:
\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt2 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt2 I\sin\theta(t),\\
i_{\gamma}=&0,
\end{align}
變換後的電流量值和變換前相同。
功率不變變換
電機系統的電壓和電流，經過上述的變換後，實功和虛功會和原系統會差一個係數，原因是因為T不是酉矩阵（unitary matrix）。若要讓實功和虛功的值在變換前後相同，需要用以下的變換
:i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix},
變換矩陣是酉矩阵，而且其逆矩陣恰好為其轉置矩陣
不過在此例中，變換後電流的量值就和變換前不同了，變換後的電流如下
:
\begin{align}
i_{\alpha}=&\sqrt3 I\cos\theta(t),\\
i_{\beta}=&\sqrt3 I\sin\theta(t),\\
i_{\gamma}=&0.
\end{align}
其逆變換為
:
i_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.
簡化的變換
在平衡系統中，i_a(t)+i_b(t)+i_c(t)=0，因此，i_\gamma(t)=0。以下是簡化版的變換
:\begin{align}
i_{\alpha\beta}(t) &= \frac23 \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12\\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}\\
&= \begin{bmatrix} 1 & 0\\
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{2}{\sqrt{3}}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\end{bmatrix}
\end{align}
是只考慮前二個方程的克拉克變換，其逆變換如下
:i_{abc}(t) = \frac32\begin{bmatrix} \frac23 & 0 \\
-\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\end{bmatrix}
幾何詮釋
克拉克變換可以視為是將三個相量（電壓或電流）投影到二個固定的座標軸（alpha軸和beta軸）上。若三相平衡的話，所有資訊都可以保留，因為方程I_a+I_b+I_c=0和變換後的I_{\gamma}的方程等效。若系統不平衡，則在投影後I_{\gamma}項會有誤差量。因此，I_{\gamma}為0表示三相系統平衡，可以只考慮二個座標下的運算。這是克拉克變換的優雅之處，在三相平衡的假設下，將三個分量的系統變換為二個分量的系統。
另一種理解的方式是方程I_a+I_b+I_c=0定義了一個在三維空間下的平面，alpha-beta座標空間可以理解為該平面上的座標，也就這二個座標軸都在I_a+I_b+I_c=0定義的平面上。
- 向量控制
參考資料
外部連結
- [https://dspace.mit.edu/handle/1721.1/123557/ C.J. O'Rourke et al. "A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park," in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, pp. 2070-2083, Dec. 2019.]
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