切比雪夫總和不等式

數學上的切比雪夫總和不等式或切比雪夫不等式以數學家切比雪夫命名，可用以比較兩組數積的和及兩組數的線性和的積的大小：

若a_1 \geq a_2 \ge \cdots \geq a_n且b_1 \geq b_2 \ge \cdots \geq b_n，則：
:n \sum_{k=1}^n a_kb_k \ge \left(\sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k\right) \ge n \sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}。

上式也可以寫作
:\frac1n \sum_{k=1}^n a_kb_k \ge \left(\frac1n \sum_{k=1}^n a_k\right)\left(\frac1n \sum_{k=1}^n b_k\right) \ge \frac1n \sum_{k=1}^n a_kb_{n+1-k}。

它是由排序不等式而來。

证明
设a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n且b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n，由排序不等式可知，最大的和为顺序和：
:a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n

于是：
:a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n
:a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_1
:a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_3 + a_2 b_4 + \cdots + a_n b_2
:: \vdots
:a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \geq a_1 b_n + a_2 b_1 + \cdots + a_n b_{n-1}

将这n个不等式分边相加，同时对右边进行因式分解，便得到：
:n (a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n) \geq (a_1 + \cdots + a_n) (b_1 + \cdots + b_n)

两边都除以n^2，就得到切比雪夫不等式的第一个不等号：
:\frac {a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n} {n} \geq \frac {a_1 + \cdots + a_n}{n} \cdot \frac {b_1 + \cdots + b_n}{n}

同理，右边的不等号可由最小的和为逆序和推得。

积分形式
切比雪夫不等式的积分形式如下:

若f和g是区间[0, 1]上的可积的实函数，并且两者都是递增或两者都是递减的，则：
:\int fg \geq \int f \int g

上式可推广到任意区间。

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