动力系统理论中，刘维尔–阿诺德定理指出，若在具有n自由度的哈密顿力学系统中，存在n个泊松交换的独立第一运动积分，且能级集是紧的，则就存在到作用量-角度坐标的正则变换，变换后的哈密顿量只依赖于作用量坐标，角度坐标随时间线性变化。因此，若能分离级同时集（level simultaneous set）条件，系统的运动方程便可通过化方求解。定理得名于约瑟夫·刘维尔和弗拉基米尔·阿诺德。
历史
定理的原始形式是刘维尔于1853年针对\mathbb{R}^{2n}上具有规范辛结构的函数证明的。阿诺德在1974年出版的教科书《经典力学的数学方法》中给出了到辛流形的推广。
陈述
初步定义
令(M^{2n}, \omega)是2n维辛流形，具有辛结构\omega。
M^{2n}上的可积系统是M^{2n}上的n个函数组成的集合，记作F = (F_1, \cdots, F_n)，满足
- （一般）线性独立：稠密集上dF_1\wedge \cdots \wedge dF_n \neq 0
- 相互泊松交换：泊松括号(F_i, F_j)对任意一对i,j都为0
泊松括号是每个F_i对应的哈密顿向量场的李氏括号。简单说，若X_H是对应于光滑函数H: M^{2n} \rightarrow \mathbb{R}的哈密顿向量场，则对两光滑函数F, G，泊松括号是(F,G) = [X_F, X_G]。
若df_1\wedge \cdots \wedge df_n(p) \neq 0，则称点p是正则点（regular point）。
可积系统定义了函数F: M^{2n} \rightarrow \mathbb{R}^n。L_{\mathbf{c}}表示函数F_i的水平集
L_\mathbf{c} = \{x:F_i(x) = c_i\},
或记作L_\mathbf{c} = F^{-1}(\mathbf{c})。
若给M^{2n}附加一个区分函数H的结构，则当H可以补全（completed）为可积系统时（即存在可积系统F = (F_1 = H, F_2, \cdots, F_n)），哈密顿系统(M^{2n}, \omega, H)是可积的。
定理
若(M^{2n}, \omega, F)是可积哈密顿系统、p是正则点，则定理描述了正则点的像c = F(p)的水平集L_c：
- L_c是光滑流形，在由H = F_1引发的哈密顿流作用下不变（因此在可积系统的任何元素引发的哈密顿流下也不变）。
- 若L_c更紧且连通，则就微分同胚于N-环面T^n。
- L_c上存在（局部）坐标(\theta_1, \cdots, \theta_n, \omega_1, \cdots, \omega_n)，使得\omega_i在水平集上为常，而\dot \theta_i := (H,\theta_i) = \omega_i。这些坐标称作作用量-角度坐标。
刘维尔可积系统例子
可积的哈密顿系统可称作“刘维尔意义上可积”或“刘维尔可积”。比较知名的例子如下。
一些记号是文献中的标准符号。考虑的辛流形是\mathbb{R}^{2n}时，其坐标通常写作(q_1, \cdots, q_n, p_1, \cdots, p_n)，规范辛形式是\omega = \sum_i dq_i \wedge dp_i。除非另有说明，否则本节将假设这些参数。
- 哈密顿谐振子：(\mathbb{R}^{2n}, \omega, H)，其中H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = \sum_i \left(\frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_i^2q_i^2\right)。定义H_i = \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_i^2q_i^2，可积系统是(H, H_1, \cdots, H_{n-1})。
- 连心力系统(\mathbb{R}^{6}, \omega, H)，其中H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - U(\mathbf{q}^2)，U是某势函数。定义角动量\mathbf{L} = \mathbf{p}\times\mathbf{q}，可积系统是(H, \mathbf{L}^2, L_3)。
- 可积陀螺：是刘维尔可积的。
另见
- 弗罗贝尼乌斯定理
- 可积系统
参考文献
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