运算

在数学中，一个 运算 被定义为一个将一个或更多个输入值（或称 “运算数” 或 “参数”）对应到一个两定义的输出值的函数。这些运算数的个数被称为该运算的元数。

研究中最常见的运算是二元运算（也就是元数为 2 的运算）如加法、乘法，还有一元运算（也就是元数为 1 的运算）如加法逆、乘法逆。而一个操作数为零的运算，或者说一个，是一个常数，这种运算在计算机科学中比较常见一些。混合积是一个三元运算的例子。

通常而言一个运算的输入值是有限的，但有时也应当考虑而对于以加、减、乘、除以及幂为例的二元运算，则需要两个输入值。

除却数字，运算也允许涉及其他数学对象。比如逻辑真值 “真” 和 “假” 就可以通过 “与”、“或”、“非” 这些逻辑运算符连接并参与运算，其中 “与” 和 “或” 为二元运算，而“非”为一元运算；向量可以进行加减； 转动可以通过函数复合进行运算，运算结果是先进行前一个旋转，接着进行后一个旋转的复合旋转。集合上的运算包括二元的交、并运算；函数之间的运算有函数复合、卷积等。

作为一个函数，运算并不总对其域上的所有元定义良好。例如实数上对零做除法或者对负数开平方根就是不被允许的。所有能被运算的值构成一集合，记为该运算的定义域。对于整个定义域上的值，包含该运算作为函数导出的所有值的集合称作该运算的上域，而所有导出值本身构成的集合，称运算的像或者值域。例如前文所述的实数平方根，其定义域即 \mathbb{R}_{\ge0}，值域也是 \mathbb{R}_{\ge0}，上域则是任意一个含有值域的集，此处可以为 \mathbb{R}；而实数的除法运算，定义域为 \mathbb{R}\times\mathbb{R}_{\neq0}，值域为 \mathbb{R}_{\neq0}。

此外，多元的运算可以涉及并不相似的元素：向量能够与标量进行数乘运算并得到另一个向量；两个向量可以进行内积运算并最后得到一个标量。一个运算有时也会被赋予一些额外属性如结合律、交换律、反交换律、幂等等。

这些参与运算的值被称作 “参数” 或 “输入”，而得到的值被称作 “值”、“结果” 或 “输出”。运算的元数可以是从 2 到 \infty 之间的任何整值，这一性质并不绝对，就像内积运算，并不符合该描述：将两个向量点乘，结果是一个标量。一个 n元运算 \omega\colon X^n\to X 被称作内部运算；一个 n元运算 \omega\colon X^i\times S\times X^{n-i-1}\to X，其中0\le i，被称作由标量集或者算子集 S 构造的 外部运算。特别地，二元运算 \omega\colon S\times X\to X 称作由 S 决定的 左外部运算，相应地 \omega\colon X\times S\to X 称作由 S 决定的 右外部运算。

一个 n 元多值函数 或者 多值运算 \omega 是一个从其笛卡儿积到其幂集的形如 \omega\colon X^n\to\mathcal{P}(X)的映射。

参见
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• 超运算
• 中缀表示法
• 算子
• 操作数

参考文献