數學中的伯努利不等式指出：對任意整數n \geq 1，和任意實數x \ge -1有：
: (1+x)^n \ge 1+nx；
如果n \ge 0且是偶數，則不等式對任意實數x成立。

可以看到在n=0,1，或x=0時等號成立，而對任意正整數n \ge 2和任意實數x \ge -1，x \ne 0，有嚴格不等式：
: (1+x)^n > 1+nx\,。

伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。

證明和推廣
伯努利不等式可以用數學歸納法證明：當n=0, 1，不等式明顯成立。假設不等式對正整數n，實數x \ge -1時成立，那麼
: (1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \ge (1+x)(1+nx)
: = 1+(n+1)x+nx^2 \ge 1+(n+1)x。

下面是推廣到實數冪的版本：如果x>-1，那麼：

:若r \le 0或r \ge 1，有(1+x)^r \ge 1 + rx；

:若0 \le r \le 1，有(1+x)^r \le 1 + rx。

這不等式可以用導數比較來證明：

當r=0,1時，等式顯然成立。

在(-1,\infty)上定義f(x)=(1+x)^r - (1+rx)，其中r \ne 0,1，
對x求导得f'(x)=r(1+x)^{r-1} - r，
則f'(x)=0當且僅當x=0。分情況討論：

0，則對x > 0，f'(x)；對-1，f'(x)>0。因此f(x)在x=0時取最大值0，故得(1+x)^r \leq 1+rx。

r或r>1，則對x > 0，f'(x)>0；對-1，f'(x)。因此f(x)在x=0時取最小值0，故得(1+x)^r \geq 1+rx。

在這兩種情況，等號成立當且僅當x=0。

相關不等式
下述不等式從另一邊估計(1+x)^r：對任意x,\mbox{ }r>0，都有

: (1+x)^r 。

我们知道1+x（x>0），因此这个不等式是成立的。