樊𰋀不等式（）是华裔数学家樊𰋀发现的一个不等式。這個不等式的意義，在於因其與算幾不等式相似，從中可以推廣出很多結果。
敘述
樊𰋀不等式，用最簡單的形式可以表述為：
如果實數x_1, \ldots, x_n\ 都符合0 ，那麼
:
\frac{\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}}}{\left[\prod_{i=1}^n (1-x_i)\right]^{\frac{1}{n}}} \le \frac {{1 \over n} \sum_{i=1}^n x_i}{{1 \over n} \sum_{i=1}^n (1-x_i)}，
等式成立當且僅當x_1 = \cdots = x_n。
若分別記x_i\;的算術平均和幾何平均為A_n\equiv\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i ，G_n\equiv\left(\prod_{i=1}^n x_i \right)^{\frac{1}{n}}；又記1-x_i\;的這兩種平均為A^\prime_n\equiv\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (1-x_i) ，G^\prime_n\equiv\left[\prod_{i=1}^n (1-x_i) \right]^{\frac{1}{n}}，那麼不等式可寫作
:\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}。
如此可以看出它和算幾不等式G_n\leq A_n的相似處。
證明
利用函數f(x)=\ln x -\ln (1-x)\;在0的凹性，套用延森不等式，這樣得到一個簡單的證明。這證明可以直接推廣至不等式的加權形式：
: \frac{ \prod_{i=1}^n x_i^{\gamma_i} }{ \prod_{i=1}^n \left(1- x_i \right)^{\gamma_i}}\leq\frac{ \sum_{i=1}^n \gamma_ix_i }{ \sum_{i=1}^n \gamma_i\left(1- x_i \right) }
，
其中\gamma_i\geq 0，\sum_{i=1}^n \gamma_i =1。
相關不等式
如果記調和平均為H_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} ，H^\prime_n:=\frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1-x_i}} ，在W. Wang, P. Wang (1984)有如下推廣：
:\frac{H_n}{H^\prime_n}\leq\frac{G_n}{G^\prime_n}\leq\frac{A_n}{A^\prime_n}。
參考文獻
*Horst Alzer: [http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?did=D171447 Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan]. Aequationes Mathematicae 36 (1988) 246-250.
*E. F. Beckenbach, R. Bellman: Inequalities. Springer-Verlag, Berlin 1983, 引用在 Alzer (1988).
*Edward Neuman, Jósef Sándor: [https://web.archive.org/web/20160304041246/http://www.mia-journal.com/files/5-1/full/05-06.PDF On the Ky Fan inequality and related inequalities I]. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 5, Number 1 (2002), 49–56.
*Edward Neuman, Jósef Sándor: [http://www.austms.org.au/Publ/Bulletin/V72P1/pdf/721-5068-NeSa.pdf On the Ky Fan inequality and related inequalities II] . Bulletin of the Australian Mathematical Society. Volume 72, Number 1 (2005), 87-107.
*Jósef Sándor, Tiberiu Trif: [https://web.archive.org/web/20151226091729/http://www.mia-journal.com/files/2-4/full/02-43.PDF A new refinement of the Ky Fan inequality]. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 2, Number 4 (1999), 529–533.
W. Wang, P. Wang: A class of inequalities for the symmetric functions* (中文) Acta Math. Sinica 27 (1984), 485-497, 引用在 Alzer (1988).
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