数学中，若n元函数无论变量顺序如何，值都相同，就称之为对称函数。例如，二元函数f\left(x_1,x_2\right)，当且仅当\forall x_1,\ x_2,\ \left(x_1,x_2\right),\ \left(x_2,x_1\right)\in {\rm dom}(f),\ f\left(x_1,x_2\right) = f\left(x_2,x_1\right)，f是对称函数。最常见的对称函数类型是多项式函数，由对称多项式给出。
一个相关概念是交错多项式，其在变量互换后只有符号改变。除多项式函数外，作为多个向量的函数的张量也可以是对称的，实际上向量空间V上的对称k-向量空间同构于V上的k次齐次多项式空间。对称函数同奇函数与偶函数是不同的概念。
对称化
给定任意一个n元函数f，其在阿贝尔群中取值。可对参数的所有排列求和，构造得对称函数。同样，对偶置换求和、再减去奇置换的求和，就可构造出反对称函数。这些运算不可逆，而且很可能使得非平凡的f变为等于0的常数函数。若已知f的对称化与反对称化，则只能恢复二元的f，且阿贝尔群允许除以2（加倍的逆），这时f等于其对称化与反对称化之和的一半。
例子
考虑实值函数
f(x_1,x_2,x_3) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).
由定义，n元对称函数满足以下性质
f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = f(x_2,x_1,\ldots,x_n) = f(x_3,x_1,\ldots,x_n,x_{n-1}), \quad \text{ etc.}
一般来说，变量的排列不影响函数值。本例中
(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) = (x-x_2)(x-x_1)(x-x_3) = (x-x_3)(x-x_1)(x-x_2)
以此类推，适用于x_1, x_2, x_3的所有排列。
考虑函数
f(x,y) = x^2 + y^2 - r^2.
若x、y互换，函数变为
f(y,x) = y^2 + x^2 - r^2,
结果与原f(x, y)相同。
再考虑函数
f(x,y) = ax^2+by^2-r^2.
若x、y互换，函数变为
f(y,x) = ay^2 + bx^2 - r^2.
若a \neq b，这样就和原函数不一样了，因此是非对称函数。
应用
U-统计量
统计学中，对k-样本统计量进行自助的对称化，可得n元对称函数的n样本统计量，称作U-统计量。例子如样本均值和样本方差。
另见
- 交错多项式
- 对称多项式
- 奇函数与偶函数
- 对称随机变量
- 准对称函数
- 对称函数环
- 对称化
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参考文献
- F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
- Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, .
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