代数拓扑中，万有系数定理建立了同调群（或上同调群）与不同系数的关系。例如，对每个拓扑空间X，其整同调群是：
:H_i(X;\ \Z)
对任何阿贝尔群A，都能完全确定其系数在A中的同调群：
:H_i(X;\ A)
其中H_i可能是单纯同调或更一般的奇异同调。此结果的一般证明是关于自由阿贝尔群链复形的纯同调代数，结果的形式是，可以使用其他系数A，代价是使用Tor函子。
例如，通常取A为\Z/2\Z，于是系数是模2。在同调中没有2-扭化的情形下，这就变得简单明了了。一般来说，这结果表明了X的贝蒂数b_i与F域中的系数的贝蒂数b_{i,\ F}之间的关系。但只有当F的特征是素数p、且同调中存在某种p-扭化时，才会有所不同。
同调情形的说明
考虑模的张量积H_i(X;\ \Z)\otimes A。该定理指出，有一个涉及Tor函子的短正合列
: 0 \to H_i(X; \mathbf{Z})\otimes A \, \overset{\mu}\to \, H_i(X;A) \to \operatorname{Tor}_1(H_{i-1}(X; \mathbf{Z}),A)\to 0.
其中μ是双射H_i(X;\ \Z)\times A\to H_i(X;\ A)诱导的映射。即，张量积的同态由直积的双射诱导。此外，这序列会分裂，虽然不是自然分裂。
若系数环A是\Z/p\Z，这就是伯克斯坦谱序列的一个特例。
上同调的万有系数定理
令G为主理想域R（如\Z或某个域）上的模。
还有一个涉及Ext函子的上同调的万有系数定理，断言有自然的短正合列
: 0 \to \operatorname{Ext}_R^1(H_{i-1}(X; R), G) \to H^i(X; G) \, \overset{h} \to \, \operatorname{Hom}_R(H_i(X; R), G)\to 0.
与同调情形一样，序列会分裂，虽然不是自然分裂。
事实上，假设
:H_i(X;G) = \ker \partial_i \otimes G / \operatorname{im}\partial_{i+1} \otimes G
并定义：
:H^*(X; G) = \ker(\operatorname{Hom}(\partial, G)) / \operatorname{im}(\operatorname{Hom}(\partial, G)).
则上面的h就是规范映射：
:h([f])([x]) = f(x).
另一种观点是用艾伦伯格–麦克莱恩空间表示上同调，当中h将X到K(G,\ i)的映射的同伦类映射到同调中导出的相应同态。于是，艾伦伯格–麦克莱恩空间弱右伴随于同调函子。
例子：实射影空间的模2上同调
令X=\mathbb{P}^n(\R)，即实射影空间。计算X的系数在R=\Z/2\Z中的奇异上同调。
已知，整数同调由下式给出：
:H_i(X; \mathbf{Z}) =
\begin{cases}
\mathbf{Z} & i = 0 \text{ or } i = n \text{ odd,}\\
\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} & 0
有{\rm Ext}(R,\ R)=R,\ {\rm Ext}(\Z,\ R)=0，于是上述正合列给出
:\forall i = 0, \ldots, n: \qquad \ H^i (X; R) = R.
事实上，总上同调环结构是
:H^*(X; R) = R [w] / \left \langle w^{n+1} \right \rangle.
推论
定理的一个特例是计算整上同调。对有限CW复形X，H_i(X;\ \Z)是有限生成的，因此有如下分解：
: H_i(X; \mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)}\oplus T_{i},
其中\beta_i(X)是X的贝蒂数，T_i是H_i的扭部分。可以检验
: \operatorname{Hom}(H_i(X),\mathbf{Z}) \cong \operatorname{Hom}(\mathbf{Z}^{\beta_i(X)},\mathbf{Z}) \oplus \operatorname{Hom}(T_i, \mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)},
且
:\operatorname{Ext}(H_i(X),\mathbf{Z}) \cong \operatorname{Ext}(\mathbf{Z}^{\beta_i(X)},\mathbf{Z}) \oplus \operatorname{Ext}(T_i, \mathbf{Z}) \cong T_i.
这给出了整上同调的如下声明：
: H^i(X;\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)} \oplus T_{i-1}.
对于有向闭连通n维流形X，这一推论与庞加莱对偶性相结合，得出\beta_i(X)=\beta_{n-i}(X)。
万有系数谱序列
对具有扭系数的（上）同调，有万有系数定理的推广。对于上同调，有
:E^{p,q}_2=Ext_{R}^q(H_p(C_),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_;G)
其中R是单位环，C_是R上自由模的链复形，G是某单位环S*的任意(R,S)-双模，\rm Ext是Ext群。微分{\rm d}^r的度为(1-r,\ r)。
同调也类似
:E_{p,q}^2={\rm Tor}^{R}_q(H_p(C_),G)\Rightarrow H_(C_*;G)
其中\rm Tor是Tor群，微分{\rm d}_r的度为(r-1,\ -r)。
注释
参考文献
Allen Hatcher, Algebraic Topology*, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. . A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html author's homepage] .
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*Jerome Levine. “Knot Modules. I.” Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498
外部链接
*[https://math.stackexchange.com/q/768481 Universal coefficient theorem with ring coefficients]
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