物理学中，物理空间代数 （APS）是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数{\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})作为(3+1)维时空的模型，通过副向量（3维向量加1维标量）表示时空中的一个点。
克利福德代数{\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})在旋量表示\mathbb{C}^2上有由泡利矩阵生成的忠实表示；此外，{\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})同构于克利福德代数{\rm Cl}_{3,\ 1}(\mathbb{R})的偶子代数{\rm Cl}_{3,\ 1}^{[0]}(\mathbb{R})。
APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。
注意APS与时空代数（STA）不同，后者涉及4维闵氏时空的克利福德代数{\rm Cl}_{1,\ 3}(\mathbb{R})。
狭义相对论
时空位置副向量
APS中，时空位置可表为副向量
x = x^0 + x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3,
其中时间由标绿部分x^0=t给出，\vec{e}_1,\ \vec{e}_2,\ \vec{e}_3是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是c=1，称作自然单位制。在泡利矩阵表述中，单位基向量被泡利矩阵代替，标量部分被单位矩阵代替，这意味着时空位置的泡利矩阵表述为
x \rightarrow \begin{pmatrix} x^0 + x^3 && x^1 - ix^2 \\ x^1 + ix^2 && x^0-x^3\end{pmatrix}
洛伦兹变换与转子
保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换，可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现：
L = e^{\frac{1}{2}W} .
在矩阵表示中，洛伦兹转子被看作是{\rm SL}(2,\ \mathbb{C})群（复数上度为2的特殊线性群）的一个例子，其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件，转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积：
L\bar{L} = \bar{L} L = 1 .
此洛伦兹转子总可以分解为两个因子，是厄米的B=B^\dagger与幺正的R^\dagger=R^{-1}，使得
L = B R .
酉元R称作转子，因为其编码了旋转，厄米元B则编码了递升。
四维速度副向量
四维速度也称原速，定义为时空位置副向量对原时τ的导数：
u = \frac{d x }{d \tau} = \frac{d x^0}{d\tau} +
\frac{d}{d\tau}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3) =
\frac{d x^0}{d\tau}\left[1 + \frac{d}{d x^0}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3)\right].
定义普通速度为
\mathbf{v} = \frac{d}{d x^0}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3) ,
回想伽马因子的定义：
\gamma(\mathbf{v}) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{|\mathbf{v}|^2}{c^2}}} ,
于是原速的更紧凑定义是：
u = \gamma(\mathbf{v})(1 + \mathbf{v}).
原速是正幺模副向量，意味着下列克利福德共轭条件：
u \bar{u} = 1 .
在洛伦兹转子L*作用下，原速变换为
u \rightarrow u^\prime = L u L^\dagger.
四维动量副向量
APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到：
p = m u,
质壳条件转化为
\bar{p}p = m^2 .
经典电动力学
电磁场、电势与电流
电磁场可表为双副向量F：
F = \mathbf{E}+ i \mathbf{B} ,
其中厄米部分代表电场E，反厄米部分代表磁场B。在标准泡利矩阵表示中，电磁场为
F \rightarrow
\begin{pmatrix} E_3 & E_1 -i E_2 \\ E_1 +i E_2 & -E_3 \end{pmatrix}
- i \begin{pmatrix} B_3 & B_1 -i B_2 \\ B_1 +i B_2 & -B_3 \end{pmatrix}\,.
场F的源是电磁四维电流
j = \rho + \mathbf{j}\,,
其中标量部分等于电荷密度ρ，向量部分等于电流密度j。引入电磁势副向量：
A=\phi+\mathbf{A}\,,
当中标量部分等于电势ϕ，向量部分等于磁势A。则电磁场为
F = \partial \bar{A} .
此场也可分为电部分
E = \langle \partial \bar{A} \rangle_V
与磁部分
B = i \langle \partial \bar{A} \rangle_{BV}
当中
\partial = \partial_t + \mathbf{e}_1 \, \partial_x + \mathbf{e}_2 \, \partial_y + \mathbf{e}_3 \, \partial_z
且F在下列规范变换下不变：
A \rightarrow A + \partial \chi \,,
其中\chi是标量场。
电磁场在洛伦兹变换下是协变的，规律是
F \rightarrow F^\prime = L F \bar{L}\,.
麦克斯韦方程组与洛伦兹力
麦克斯韦方程组可用单一方程表示：
\bar{\partial} F = \frac{1}{ \epsilon} \bar{j}\,,
其中上横线表示克利福德共轭。
洛伦兹力方程形式为
\frac{d p}{d \tau} = e \langle F u \rangle_{R}\,.
电磁拉格朗日量
电磁拉格朗日量是
L = \frac{1}{2} \langle F F \rangle_S - \langle A \bar{j} \rangle_S\,,
是实标量不变量。
相对论量子力学
对质量为m、电荷为e的带电粒子，其狄拉克方程的形式为
i \bar{\partial} \Psi\mathbf{e}_3 + e \bar{A} \Psi = m \bar{\Psi}^\dagger ,
其中\vec{e}_3'是任意酉向量，A是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过最小耦合包含在势A中。
经典旋量
与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的微分方程为
\frac{d \Lambda}{ d \tau} = \frac{e}{2mc} F \Lambda,
这样，原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来：
u = \Lambda \Lambda^\dagger,
积分之，就可得到时空轨迹x(\tau)，同时还能使用
\frac{d x}{ d \tau} = u .
另见
- 副向量
- 多重向量
- Physics Using Geometric Algebra
- 相对论量子力学
- 代数
参考文献
教科书
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文章
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