自協調函數

在优化理论中，自協調函数（）是一个函数f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}其中

|f*(x)| \leq 2 f(x)^{3/2}

或者，等价地，一个函数f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}无论何处f*(x) > 0满足

\left| \frac{d}{dx} \frac{1}{\sqrt{f*(x)}} \right| \leq 1

并且满足f(x) = 0在**其他地方。

更一般地，多元函数f(x) : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}是自協調的，如果

\left. \frac{d}{d\alpha} \nabla^2 f(x + \alpha y) \right|_{\alpha = 0} \preceq 2 \sqrt{y^T \nabla^2 f(x)\,y} \, \nabla^2 f(x)

或者，等效地，如果它对任意行的限制是協調的。

性質

• 線性結合

若f_1和f_2是自協調函數，有常數M_1和M_2，且\alpha,\beta>0，則\alpha f_1 + \beta f_2是自協調函數，且有常數\max(\alpha^{-1/2} M_1, \beta^{-1/2} M_2).

• 仿射變換

若f是自協調函數，有常數M，且Ax + b是\mathbb R^n的仿射變換，则\phi(x) = f(Ax+b)是带有系数M的自協調函數

• 凸共轭

若f是自協調函數，则它的凸共轭f^*也是自協調函數

• 非奇异黑森矩阵

如果f是自协调的，且域为f不包含直线（两个方向无穷大），那么f*是非奇异的。

反之，如果对于某些x在域f中，且u \in \mathbb R^n, u \neq 0，则有\langle f(x) u, u \rangle = 0，则\langle f(x + \alpha u) u, u \rangle = 0对于所有\alpha，此处x + \alpha u在f的域中。则f(x + \alpha u)是线性的并且不能有最大值，所以所有x + \alpha u, \alpha \in \mathbb R在f的域中。我们还注意到f其域内不能有最小值。

参考资料
函數