自反關係（）是在邏輯學和數學中一種特殊的二元關係，這樣的二元關係被稱作自反的，或具有自反性。一個集合X上的二元關係R，若滿足(\forall x \in X)(xRx)，則為自反關係。
定義
以下是與“自反”有關的定義。給定一個集合X上的二元關係R，稱其具有：
自反性（），
:若任取X的一個元素x，滿足有序對(x, x) \in R，即(\forall x \in X)(xRx)。
非自反性（），
:若存在X的一個元素x，滿足有序對(x, x) \notin R，即\neg[(\forall x \in X)(xRx)] \iff (\exists x \in X)[\neg(xRx)]。
反自反性（），
:若任取X的一個元素x，滿足有序對(x, x) \notin R，即(\forall x \in X)[\neg(xRx)]。
左準自反性（），
:若任取X的兩個元素x_L和x_R，並滿足有序對(x_L, x_R) \in R，則(x_L, x_L) \in R。
:換句話說，(\forall x_L \in X)(\forall x_R \in X)(x_L R x_R \implies x_L R x_L)。
右準自反性（），
:若任取X的兩個元素x_L和x_R，並滿足有序對(x_L, x_R) \in R，則(x_R, x_R) \in R。
:換句話說，(\forall x_L \in X)(\forall x_R \in X)(x_L R x_R \implies x_R R x_R)。
準自反性（），
:若R同時滿足“左準自反性”及“右準自反性”。
:換句話說，(\forall x_1 \in X)(\forall x_2 \in X)(x_1 R x_2 \implies x_1 R x_1 \land x_2 R x_2)。
示例
基本 / 常見示例
以下為一些“自反”關係的例子：
- 定義在特定集合X_r上的相等（=）。
- 定義在特定集族X_r上的包含於（\subseteq）及包含（\supseteq）。
- 定義在實數集\mathbb{R}上的不大於（\le）及不小於（\ge）。
- 定義在正整數集\mathbb{Z}^+上的整除（|）。
接著是一些不具反自反性的“非自反”關係，例如：
- 定義在集合\{-1, 0, 1\}上的關係R，滿足x R y \iff |x| = y。
- 定義在集合\{1, 2, 3\}上的關係R = \{(1, 1), (1, 2), (2, 2)\}。
- 定義在整數集\mathbb{Z}上的關係R，滿足x R y \iff (x \le y) \land (x \ge 0)。
最後是一些“反自反”關係的例子：
- 定義在特定集合X_i上的不相等（\ne）。
- 定義在特定集合X_i上的真包含於（\subset）及真包含（\supset）。
- 定義在實數集\mathbb{R}上的小於（）及大於（>）。
特殊 / 非典型示例
以下為一個“自反”關係的例子：
- 定義在自然數集\omega上的關係R，滿足x R y \iff \operatorname{Card}(x) = y。
接著是一個不具反自反性的“非自反”關係，例如：
- 定義在實數集\mathbb{R}上的關係R_f，滿足x R_f y \iff x = f(y)，其中函數f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}，滿足圖形y = f(x)與直線y = x的交點個數為正整數。
再來是幾個“反自反”關係的例子：
- 定義在實數集\mathbb{R}上的關係R，滿足x R y \iff (\exists \varepsilon \in \mathbb{R}^+)[x \notin (y - \varepsilon, y + \varepsilon)]，其中(y - \varepsilon,y + \varepsilon)為一開區間。
- 定義在特定集合X_i上的關係R，滿足x R y \iff x = y^+，其中y^+表示y的後繼，並承認正則公理。
最後，值得一提的是，對於定義在空集合\varnothing上的二元關係R（此時只能有R = \varnothing），有：
- (\forall x \in \varnothing)(xRx) \iff (\forall x)(x \in \varnothing \implies x R x)為真，因為前件x \in \varnothing恆為假，故命題虛空真。
- \neg[(\forall x)(x \in \varnothing \implies x R x)]為假，因為(\forall x)(x \in \varnothing \implies x R x)為真，故其否定恆為假。
- (\forall x)[x \in \varnothing \implies \neg(x R x)]為真，因為前件x \in \varnothing恆為假，故命題虛空真。
因此，該關係R同時具備自反性及反自反性，卻不具非自反性。
相關概念
以下整理了一些分散的概念：
- (\forall x \in X)(x = x)在一些系统中被稱作相等公理。
- 預序關係：具有傳遞性的自反關係。
:等價關係：具有對稱性的預序關係。
:偏序關係：具有反對稱性的預序關係。
- 一個準自反關係的例子是關於實數序列集合的“具有相同極限”的關係：並不是每個序列都有一個極限，因此這個關係不是自反的，但是如果一個序列與某個序列具有相同的極限，具有與其本身相同的限制。
- 自反閉包：給定集合X上的二元關係R，其自反閉包是包含R的最小自反關係。
:形式上，它等於R與X上的恆等關係I_X的聯集：
::R^= = R \cup I_X。
:例如，實數集上「小於」（）的自反閉包即為「小於或等於」（\le）。
- **'：給定集合X上的二元關係R，其自反減少是包含於R的最大反自反關係。
:形式上，它等於R與X上的恆等關係I_X的差集：
::R^{\neq} = R \setminus I_X。
:例如，實數集上「小於或等於」（\le）的自反減少即為「小於」（）。
各類關係個數
在一個n-元素集合上，自反關係的數目是2^{n^2 - n}個。其他的關係個數如下表：
其中上表的S(n, k)代表第二類史特靈數。
參考文獻
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