对偶锥和极锥

对偶锥和极锥（）是凸分析中的两个概念。

对偶锥
在向量空间内
实数线性空间 X （例如欧几里得空间Rn）中子集 C 的双锥C，与对偶空间 X* 成集合：

: C^ = \left \{y\in X^: \langle y , x \rangle \geq 0 \quad \forall x\in C \right \},

此中 \langle y, x \rangle 是 X 和 X* 的对偶组合，即 \langle y, x\rangle = y(x)

C 始终是凸锥，即使 C* 既不是凸锥也不是锥。

在拓扑空间内
如果 X 是实数或复数上的拓扑向量空间，则其子集 C⊆X 的对偶锥是 X 上的以下连续线性泛函集合：

: C^{\prime} := \left\{ f \in X^{\prime} : \operatorname{Re} \left( f (x) \right) \geq 0 \text{ for all } x \in C \right\},

这是集合 -C 的极锥，不管 C 是什么。C^{\prime} 都将是一个凸锥。如果 C⊆{0}，则C^{\prime} = X^{\prime}。

极锥
对于X中的集合C，C的极锥是集合

: C^o = \left \{y\in X^*: \langle y , x \rangle \leq 0 \quad \forall x\in C \right \}.

可以看出，极锥等于双锥的负值，即Co=−C。

对于X中的闭合凸锥C，极锥相当于C的极集（polar set）。

参考资料
凸分析