莱默平均

莱默平均（）是一种与幂平均类似的广义平均数，由美国数学家德里克·亨利·莱默提出。

定义
若 p 是任意实数，则可定义正实数组 \mathbf{x}
的 p 次莱默平均为
:L_p(\mathbf{x}) = \frac{\sum_{k=1}^n x_k^p}{\sum_{k=1}^n x_k^{p-1}}.
若 w_k 是一组正实数，则可定义加权莱默平均为
:L_{p,w}(\mathbf{x}) = \frac{\sum_{k=1}^n w_k\cdot x_k^p}{\sum_{k=1}^n w_k\cdot x_k^{p-1}}.

性质
莱默平均可以看成是关于幂指数的函数，定义莱默平均函数 p \mapsto L_p(\mathbf{x}) ，则莱默平均函数的导数是非负的：

:
\frac{\partial}{\partial p} L_p(\mathbf{x}) =
\frac
{\left(\sum_{j=1}^n \sum_{k=j+1}^n
\left[x_j - x_k\right] \cdot \left[\ln(x_j) - \ln(x_k)\right] \cdot \left[x_j \cdot x_k\right]^{p-1}\right)}
{\left(\sum_{k=1}^n x_k^{p-1}\right)^2}
\geq 0

因此，莱默平均函数是单调增函数且有如下莱默平均不等式：

: p \le q \rightarrow L_p(\mathbf{x}) \le L_q(\mathbf{x})

加权形式亦有此结论。

特例
*\lim_{p \to -\infty} L_p(\mathbf{x}) 即\mathbf{x}这组数的最小值.
*L_0(\mathbf{x})即调和平均数.
*L_\frac{1}{2}\left((x_1, x_2)\right)即 x_1 和x_2的几何平均数 .
*L_1(\mathbf{x}) 即 算术平均数.
*L_2(\mathbf{x}) 即.
*\lim_{p \to \infty} L_p(\mathbf{x}) 即\mathbf{x}这组数的最大值.

参见条目

• 平均
• 幂平均
• 平方平均
• 算术平均
• 几何平均
• 调和平均
• 海伦平均（Heronian mean）
• 算术几何平均不等式

平均數