卜瓦松二項分布

{{Infobox 機率分佈|name=卜瓦松二項分布
Poisson binomial|type=mass|parameters=n \in \mathbb N（試驗數）
\mathbf{p}\in [0,1]^n（各試驗的成功概率）|support=k ∈ { 0, …, n }|pdf=\sum\limits_{A\in F_k} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c} (1-p_j)|cdf=\sum\limits_{l=0}^k \sum\limits_{A\in F_l} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c} (1-p_j)|mean=\sum\limits_{i=1}^n p_i|median=|mode=|variance= \sigma^2 =\sum\limits_{i=1}^n (1 - p_i)p_i|skewness=\frac{1}{\sigma^3}\sum\limits_{i=1}^n ( 1-2p_i ) ( 1-p_i ) p_i|kurtosis=\frac{1}{\sigma^4}\sum\limits_{i=1}^n ( 1 - 6(1 - p_i)p_i )( 1 - p_i )p_i|entropy=|mgf=\prod\limits_{j=1}^n (1-p_j+p_j e^t)|cf=\prod\limits_{j=1}^n (1-p_j+p_j e^{it})|pgf=\prod\limits_{j=1}^n (1-p_j+p_j z)}}

在機率论和统计学中，卜瓦松二项分布是一個基於独立伯努利试验之和的离散機率分布。这一概念以西梅翁·德尼·泊松的名字命名。

换句话说，它是成功概率分別為p_1, p_2, \dots, p_n的n次独立伯努利试验中，成功次数的機率分布。普通二项分布是卜瓦松二项分布在所有成功機率相同（即p_1 = p_2 = \cdots = p_n）时的特例。

定義
機率质量函数
n次试验中有k次成功的機率可以写为以下总和

: \Pr(K=k) = \sum\limits_{A\in F_k} \prod\limits_{i\in A} p_i \prod\limits_{j\in A^c} (1-p_j)

其中F_k是 {1,2,3,..., n } 的全體k元子集的集合。例如，如果n = 3，那么F_2=\left\{ \{1,2\},\{1,3\},\{2,3\} \right\}。A^c是A的补集，也就是A^c =\{1,2,3,\dots,n\}\setminus A。

F_k将包含n!/((n-k)!k!)個元素，因此上述总和在實務中是很難計算的，除非试验次数n很小（例如，如果n = 30，F_{15}包含超过1020个元素）。然而，还有其他更有效的方法可以计算\Pr(K=k)。

只要成功機率都不等于 1，就可以使用递归公式计算出k次成功的機率：

: \Pr (K=k)= \begin{cases}
\prod\limits_{i=1}^n (1-p_i) & k=0 \\
\frac{1}{k} \sum\limits_{i=1}^k (-1)^{i-1}\Pr (K=k-i)T(i) & k>0 \\
\end{cases}

其中

: T(i)=\sum\limits_{j=1}^n \left( \frac{p_j}{1-p_j} \right)^i.

递归公式在数值上不稳定，在n约大于20時应避免使用。另一种方法是使用分治算法：假设n = 2^b是2的幂，並以f(p_{i:j})表示成功概率為p_i, \dots, p_j的卜瓦松二项分布，表示卷积，則f(p_{1:2^b}) = f(p_{1:2^{b-1}})f(p_{2^{b-1}+1:2^b})。

另一种可能性是使用离散傅立叶变换。

: \Pr (K=k)=\frac{1}{n+1} \sum\limits_{l=0}^n C^{-lk} \prod\limits_{m=1}^n \left( 1+(C^l-1) p_m \right)

其中C=\exp \left( \frac{2i\pi }{n+1} \right)，i=\sqrt{-1}。

Chen和Liu在“卜瓦松二项式和条件伯努利分布的统计应用”中描述了其他方法。

特性
均值和方差
由于卜瓦松二项式分布變數是n个独立伯努利分布變數的总和，因此其均值和方差将是n个伯努利分布的均值和方差之和：

: \mu = \sum\limits_{i=1}^n p_i

: \sigma^2 =\sum\limits_{i=1}^n (1-p_i) p_i

當平均值（\mu）和次數（n）為定值，且所有成功機率相等時，我们會得到二项式分布，變異數此時最大。当平均值固定时，變異數的上界為具有相同均值的卜瓦松分布的變異數，該上界在n趋于无穷大時可以渐近取得。

熵
卜瓦松二項式分佈的熵沒有簡單的公式，但熵的上限是具有相同數字參數和相同均值的二項式分佈的熵。因此，熵也不大於相同均值的卜瓦松分佈的熵。

謝普-奧爾金凹性猜想由和於1981年提出，指出卜瓦松二項式分佈的熵是成功機率p_1, p_2, \dots , p_n的凹函數。這個猜想由 Erwan Hillion 和 Oliver Johnson 於2015年證明。1981年同一篇論文亦提出謝普-奧爾金單調性猜想：若p_i \leq 1/2，則熵對p_i為單調遞增。這個猜想也被 Hillion 和 Johnson 於 2019 年證明。

參考資料