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標準偏差

Wikipedia · 2025-12-05 维基百科 👁 1 阅读

{{For|-{均方差}-或均方誤差（MSE）|均方誤差}}

標準偏-{}-差（，std dev，SD）又稱標準差、中误差，在统计学中，是衡量一组变量值相对于其算术平均值（期望值）变异程度（离散程度）的指标。标准差越小（低），表示这些变量值越倾向于聚集在数据集的算术平均值（也视作期望值）附近；反之，标准差越大（高），则意味着这些变量值分布得越分散。

标准差通常用于界定哪些数据属于异常值（离群值），而哪些不属于异常值。在数学文本和方程式中，通常用小写希腊字母 σ 表示总体标准差（population SD），用小写拉丁字母 s 表示样本标准差（sample SD）。在实际研究中，我们通常无法获取总体所有数据，因此会抽取样本来推断总体，借由样本的变异度来推估计总体的变异度。

在概率統計中，标准差最常作為评估一組數值的離散程度之用。標準偏差（标准差）的操作型定義为：

一群数值与其算术平均数之差异的平方，再取算术平均数，此时得变异-{}-数（variance，σ2，s2）又称方-{}-差，最后取二次方根；即“方差開算术平方根”。

标准差可反映组内個體間的離散程度，也可表示内部符合精度，作为在一定条件下衡量测量精度的一种数值指标。標準差與期望值之比為標準離差率。

标准差具有兩種性質：

為非負數值（因為平方後再做平方根）；

與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。

一個總量的標準差或一個隨機變數的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。標準差的概念由卡爾·皮爾森引入到統計中。

闡述及應用
簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。

表述“相差k个标准差”，即在 \overline{X}\pm kS 的样本（sample）范围内考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。

母體的標準差
基本定義
:\sigma= \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i -\mu)^2}
\mu为平均值。

母體為随机变量
一隨機變量X的標準差定義為：

:\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}

須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。
如果隨機變量X為x_1, \cdots, x_n具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

離散随机变量的标准差
若X是由實數x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}構成的離散隨機變數（），且每個值的機率相等，則X的標準差定義為：

:\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\left[(x_1-\mu)^2 + (x_2-\mu)^2 + \cdots + (x_N - \mu)^2\right]}　，其中　 \mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)

換成用\sum來寫，就成為：

:\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}　，其中　 \mu = \frac{1}{N} (x_1 + \cdots + x_N)

目前為止，與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個x_i可以有不同機率p_i，則X的标准差定義為：

:\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^N p_i(x_i - \mu)^2}　，其中　\mu = \sum_{i=1}^N p_i x_i.
这里，\mu为X的数学期望。

连续随机变量的标准差
若X為概率密度p(X)的连续随机变量（），則X的标准差定義為：

:\sigma = \sqrt{\int (x-\mu)^2 \, p(x) \, dx}
其中\mu为X的数学期望：
:\mu = \int x \, p(x) \, dx

标准差的特殊性质
对于常数c和随机变量X和Y：

:\sigma(X+c)=\sigma(X)
:\sigma(cX)=c\cdot\sigma(X)
:\sigma(X+Y) = \sqrt{ \sigma^2(X) + \sigma^2(Y) + 2\cdot\mbox{cov} (X,Y)}
::其中：
::*\mbox{cov}(X,Y)表示随机变量X和Y的协方差。
::* \sigma^2(X) 表示 [ \sigma(X) ]^2 ，即Var(X)（ X 的變異數），對 Y 亦同。

样本的标准差
在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差並不實際。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

從一大組數值X_1, \cdots, X_N當中取出一樣本數值組合x_1, \cdots, x_n : n ，常定義其樣本標準差：

:
s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}

样本方差s^2是对总体方差\sigma^2的无偏估计。之所以s中的分母要用n-1而不是像总体样本差那样用n，是因为\left( x_i - \bar{x} \right)的自由度为n - 1，这是由于存在约束条件\sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right) = 0。

範例
這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{5, 6, 8, 9}：

*第一步，計算平均值\overline{x}︰

:\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i

:當\begin{smallmatrix}N = 4\end{smallmatrix}（因為集合裏有4個數），分別設為：

::
\begin{align}
x_1 &= 5, \\
x_2 &= 6, \\
x_3 &= 8, \\
x_4 &= 9,
\end{align}

則平均值為
:\begin{align}\overline{x}&=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i & (N = 4) \\
&=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right ) \\
&=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right ) \\
&= 7.\end{align}

*第二步，計算標準差\sigma\,︰

:\begin{align}\sigma &= \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2} \\
&= \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2} &(N = 4) \\
&= \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2} &(\overline{x} = 7) \\
&= \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (x_1 - 7)^2 + (x_2 - 7)^2 + (x_3 - 7)^2 + (x_4 - 7)^2 \right ] } \\
&= \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (9 - 7)^2 \right ] } \\
&= \sqrt{\frac{1}{4} \left ( (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 \right ) }\\
&= \sqrt{\frac{1}{4} \left ( 4 + 1 + 1 + 4 \right ) }\\
&= \sqrt{\frac{10}{4}} \\
&\approx 1.58114\, .\end{align}

常態分佈的規則
小於一個標準差之內的數值範圍，在常態分佈中，此範圍所佔比率為全部數值之68%；兩個標準差之內（深藍，藍）的比率合起來為95%；三個標準差之內（深藍，藍，淺藍）的比率合起來為99.7%。]]

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約68%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。

:f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 }

: \text{Proportion} = \operatorname{erf}\left(\frac z {\sqrt 2}\right)

: \text{Proportion} \le x = \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] = \frac12\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac z {\sqrt{2}} \right)\right].

標準差與平均值之間的關係
一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说，如果用平均值來考量數值的中心的话，則標準差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為：設X_1, \cdots, X_N為實數，定義函数：

:\sigma(\mu) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}

使用微積分或者通过配方法，不難算出\sigma(\mu)在下面情況下具有唯一最小值：

:\mu = \overline{x}

几何学解释
从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从n维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，X_1, X_2, X_3。它们可以在3维空间中确定一个点P = (X_1, X_2, X_3)。想像一条通过原点的直线L = {(r, r, r) : r \in \mathbb{R}}。如果这组数据中的3个值都相等，则点P就是直线L上的一个点，P到L的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点P作垂线PR垂直于L，PR交L于点R，则R的坐标为这3个值的平均数：

:R = (\overline{x},\overline{x},\overline{x})

运用一些代数知识，不难发现点P与点R之间的距离（也就是点P到直线L的距离）是\sigma \sqrt{3}。在n维空间中，这个规律同样适用，把3换成n就可以了。

参考文献
外部链接

#统计偏差和离散度 #技術分析

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