茶年 · 中文维基百科

字元集 (數理邏輯)

Wikipedia · 2024-07-08 维基百科 👁 1 阅读

字元集在不同領域中有不同意義。在邏輯學（特別是數理邏輯中）代表的是列舉出形式語言中的一組集合；在泛代數中則是列舉出代數結構具代表性的運算。另外，在模型論中兩種用法皆有使用。

對邏輯學更哲學性的討論中，字元集的概念較少被提及。

定義
一個（單域）字元集在形式上定義為四元組 \sigma = \left(S_{\operatorname{func}}, S_{\operatorname{rel}}, S_{\operatorname{const}}, \operatorname{ar}\right)，當中 S_{\operatorname{func}}與 S_{\operatorname{rel}}是不包含其他基本邏輯符號的不相交集合，分別稱作

  • 函數符號（例如: +, \times, 0, 1）
  • 或謂詞（例如: \,\leq, \, \in）
  • （例如: 0, 1）

以及一個函數 \operatorname{ar} : S_{\operatorname{func}} \cup S_{\operatorname{rel}} \to \N用來為各個關係符號和邏輯符號指定一個自然數，稱為該符號的元數。元數為 n的符號稱為 n-元的。有些作者會將常數符號定為0-元的函數符號，其它則將常數符號分開定義。

不含函數符號的字元集稱為'，而不含關係符號的字元集稱作'。
如果 S_{\operatorname{func}}與 S_{\operatorname{rel}}皆為有限集合，則稱為'。更廣泛的說，字元集 \sigma = \left(S_{\operatorname{func}}, S_{\operatorname{rel}}, S_{\operatorname{const}}, \operatorname{ar}\right)的勢**定義為 |\sigma| = \left|S_{\operatorname{func}}\right| + \left|S_{\operatorname{rel}}\right| + \left|S_{\operatorname{const}}\right|。

字元集的**'是字元集和邏輯系統中的所有符號形成的合式公式的集合

其他記號
由於其形式定義對日常使用來說過於繁瑣，一些字元集的定義經常以一種非正式的方式縮寫，例如：

: 「阿貝爾群的標準字元集是 \sigma = (+, -, 0)，當中 -是一個一元算符。」

有時一個代數字元集會被視為元數的列表，例如：

: 「阿貝爾群的相似類型（原文：similarity type）是 \sigma = (2, 1, 0)。」

這在形式上將函數符號定義為類似於 f_0（2-元）、 f_1（1-元）和 f_2（0-元）的樣子，但也有機會看到以這種方式命名的關係符號。

在數理邏輯中通常不會允許0-元的符號，因此常數符號就必須得被分開處理。 S_{\operatorname{const}}形成一個集合，並與 S_{\operatorname{func}}沒有交集，且元數函數 \operatorname{ar}在這集合上沒有定義。然而這只會讓事情變得複雜，尤其在用歸納法證明一個公式的結構時會需要考慮到額外的情況。雖然在此定義下0-元關係符號也是不被允許的，但我們依舊能用一個1-元關係符號，額外加上一個說明此關係的值對所有元素都相同的表達句來模擬。這種模擬方式只會在空結構中失效（但空結構照慣例通常會被排除在外）。如果允許0-元符號，則命題邏輯的公式也都會是一階邏輯的公式。

無限字元集的一個例子是使用 S_{\operatorname{func}} = \{+\} \cup \left\{f_a : a \in F\right\}與 S_{\operatorname{rel}} = \{=\}來形式化無限純量體 F上向量空間的表達式和方程，當中 f_a代表乘以純量 a的1-元算符。如此便能維持單域的字元集和邏輯，論域只包含向量。

字元集在邏輯學和代數中的應用
在一階邏輯的語境下，字元集中的符號又被稱作，因為字元集配上邏輯符號便構成了基礎的字母表，可以用於歸納的定義出兩種形式語言：字元集上項的集合與（合式）公式的集合。

在討論結構時，詮釋將函數符號和關係符號聯繫到與它們名字相襯的數學物件：一個 n-元函數符號 f在以 A為論域的結構 \mathbf{A}中的詮釋是一個函數 f^\mathbf{A} : A^n \to A，而一個 n-元關係符號的詮釋是一個關係 R^\mathbf{A} \subseteq A^n。當中 A^n = A \times A \times \cdots \times A代表論域 A和自己的 n次笛卡兒積，如此 f便成為了一個 n-元函數，而 R則是一個 n-元關係。

多域字元集
多域邏輯和的字元集必須包含論域的訊息。最直接的做法便是透過**'。

符號類型
令 S為一個不包含符號 \times 和 \to的（論域的）集合。

S上的符號類型是字母表 S \cup \{\times, \to\}上的特定詞彙：關係符號類型 s_1 \times \cdots \times s_n，和函數符號類型 s_1 \times \cdots \times s_n \to s^\prime，其中 n為非負整數且 s_1, s_2, \ldots, s_n, s^\prime \in S （如果 n = 0，則表達式 s_1 \times \cdots \times s_n表示空詞彙)

字元集
（多域）字元集是一個三元組 (S, P, \operatorname{type})包含

  • 論域的集合 S
  • 符號的集合 P
  • 一個將 P中的每個符號送到 S上的符號類型的映射 \operatorname{type}。

參見
*

附錄
參考文獻

*

外部連結

#數理邏輯 #泛代數 #模型論

评论 (0)

  • 还没有评论，来抢沙发吧。