瑞利問題

在流體力學中，瑞利問題（）或斯托克斯第一問題（），得名於瑞利男爵與喬治·斯托克斯，是一個由無限長平板從靜止開始運動所產生的流體流動問題。這被認為是具有納維-斯托克斯方程式精確解的最簡單的非穩定問題之一。研究了由半無限平板運動所產生的現象 。

流體描述
考慮一個對初始靜止的無限大流域來說位於y=0的無限長平板突然以定速度U往x方向移動，不可壓縮納維-斯托克斯方程式可簡化為

:\frac{\partial u}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

其中\nu是黏度。板與流體接觸面的初始條件與為

:u(y,0) = 0, \quad u(0,t>0) = U, \quad u(\infty,t>0) = 0,

最後一個條件是由於無限遠處的流體無法被y=0的運動所影響。流體的流動只由平板移動所導致，此處並沒有外加的壓力梯度。

自相似解
該問題類似於一維的熱傳導問題，因此這裡可以引入相似的變量

:\eta = \frac{y}{\sqrt{\nu t}}, \quad f(\eta) = \frac{u}{U}

將它們代入上述的偏微分方程，可以簡化為常微分方程

:f* + \frac{1}{2}\eta f' =0

並具有邊界條件

:f(0)= 1, \quad f(\infty) =0

上述問題的解可被寫成含互補誤差函數的形式

:u = U\mathrm{erfc} \left(\frac{y}{\sqrt{4\nu t}}\right)

單位面積施加在平板上的力為

:F = \mu \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{y=0} = -\rho \sqrt{\frac{\nu U^2}{\pi t}}

任意平板運動
除了用上述的階躍邊界條件，平板的速度也可以是時間的任意函數U=f(t)。方程式的解可以寫為

:u(y,t) = \int_0^t \frac{f(\tau)}{2\sqrt{\pi\nu}}\frac{y}{(t-\tau)^{3/2}}e^{- \frac{y^2}{4\nu(t-\tau)}}d\tau.

圓柱體的瑞利問題
旋轉的圓柱
考慮一個半徑為a的無限長圓柱體於時間t=0時開始以角速度\Omega旋轉，則\theta方向的速度由下式給出

:v_\theta = \frac{a\Omega}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{K_1(r\sqrt{s/\nu})}{K_1(a\sqrt{s/\nu})}e^{st}\frac{ds}{s}

其中K_1是第二類修正貝索函數。當t\rightarrow\infty，方程式的解趨近於剛體渦旋。單位面積施加於圓柱體的力為

F = \mu \left(\frac{\partial v_\theta}{\partial r}-\frac{v_\theta}{r}\right)_{r=a} = \frac{\rho a^2\Omega}{t}e^{-\frac{a^2}{2\nu t}}I_0\left(\frac{a^2}{2\nu t}\right)-2\mu\Omega

其中I_0第一類修正貝索函數。

滑動的圓柱
精確解在圓柱體沿軸向以等速度U運動也存在。設圓柱體的軸向指向 x 方向，則方程式的解為

:u = \frac{U}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{K_0(r\sqrt{s/\nu})}{K_0(a\sqrt{s/\nu})}e^{st}\frac{ds}{s}.

參看
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參考文獻