反距离加权（，IDW）是一种在有已知的离散数据点的情形下进行的确定性算法。赋给未知点的值是用已知点的值的加權平均數计算得出的。该算法也可在空间自相关分析（例如莫兰指数）中用于构建空间权重矩阵。
该方法的名称来自其加权的方式：未知点到每个已知点的距离的倒数。
问题的定义
对于给定的离散数据点，我们希望以一个函数u对研究区域进行插值：
: u(x): x \to \mathbb{R}, \quad x \in \mathbf{D} \sub \mathbb{R}^n,
其中\mathbf{D}是研究区域。
N个已知数据点可以视为元组列表：
: [(x_1, u_1), (x_2, u_2), ..., (x_N, u_N)].
该函数应当是“平滑的”（连续且一次可微），确定的（u(x_i) = u_i），并满足用户对研究的现象的直观预期。此外，该功能应能够以合理成本在电脑应用上实现（如今，基本实现方法中可能会用到并行计算）。
谢泼德法（Shepard's method）
历史参考
自1965年起，在哈佛计算机图形和空间分析实验室，各专业的科学家汇聚一堂，重新思考现在称作“地理信息系统”的各种问题。
实验室工作的推动者霍华德·费舍尔（Howard Fisher）构思了一种改良的计算机绘图程序：SYMAP，其设计伊始，费舍尔就希望对插值进行改进。他向哈佛大学新生展示了SYMAP的进展，而后许多新生参与了实验室活动。一位大一新生唐纳德·谢泼德（Donald Shepard）决定对SYMAP中的插值法进行大改，随后发表了他1968年的著名论文。
谢泼德的算法也受到William Warntz和实验室其他从事空间分析工作的人的理论方法的影响。他用距离的指数进行了许多实验，决定更接近重力模型（-2的指数）。谢泼德不仅实现了基本的反距离加权，还允许障碍（包括可渗透的和绝对的）插值。
其他研究机构此时也在研究插值，特别是堪萨斯大学及其SURFACE II计划。但SYMAP的功能仍是最先进的，尽管是由本科生编写的。
基本形式
给定一组样本点\{ \mathbf{x}_i, u_i | \text{for } \mathbf{x}_i \in \mathbb{R}^n, u_i \in \mathbb{R}\}_{i=1}^N，反距离加权插值函数u(\mathbf{x}): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}定义为：
: u(\mathbf{x}) = \begin{cases}
\dfrac{\sum_{i = 1}^{N}{ w_i(\mathbf{x}) u_i } }{ \sum_{i = 1}^{N}{ w_i(\mathbf{x}) } }, & \text{if } d(\mathbf{x},\mathbf{x}_i) \neq 0 \text{ for all } i, \\
u_i, & \text{if } d(\mathbf{x},\mathbf{x}_i) = 0 \text{ for some } i,
\end{cases}
其中
: w_i(\mathbf{x}) = \frac{1}{d(\mathbf{x},\mathbf{x}_i)^p}
这是一个简单的反距离加权函数，其定义由谢泼德提出，x表示一个被插值点（未知点），xi表示一个节点（已知点），d是从已知点xi到未知点x的给定距离（度规算符），N是插值中使用的已知点的总数，并且p是一个正实数，称为幂参数。
其中，权重随着与已知点的距离的增加而减小。p值越大，则最邻近已知点的对插值的影响越大，当p足够大时，插值结果形似马赛克多边形（沃罗诺伊图），每一个多边形内的数值几乎为恒定值。对于二维面，幂参数p \leq 2时，插值由距离较远的点主导，因为密度为\rho、邻近节点距离为r_0至R之间的数据点集，权重的加和约为
: \sum_j w_j \approx \int_{r_0}^R \frac{2\pi r\rho \,dr}{r^p} = 2\pi\rho\int_{r_0}^R r^{1-p} \,dr,
其在R\rightarrow\infty且p\leq2时发散。对于M维，同样的结论适用于p\leq M。对于p值的选择，可以考虑插值中所需的平滑程度、被插值的样本密度和分布，以及允许单个样本影响周围样本的最大距离。
谢泼德法是最小化与插值点{x, u}的元组和插值点{xi, ui}的i元组之间的偏差度量相关的函数的结果，定义为：
: \phi(\mathbf{x}, u) = \left( \sum_{i = 0}^{N}{\frac{(u-u_i)^2}{d(\mathbf{x},\mathbf{x}_i)^p}} \right)^{\frac{1}{p}} ,
从最小化条件导出：
: \frac{\partial \phi(\mathbf{x}, u)}{\partial u} = 0.
该方法容易扩展到其他维数的空间，它实际上是将拉格朗日插值法推广到多维空间。为三元插值设计的修改版算法由Robert J. Renka提出，Netlib的toms库中的算法661提供该算法。
一维下的示例
调整谢泼德法
谢泼德法的另一个修改版是仅使用半径R范围内的最近邻（而不是完整样本）来计算插值。在这种情况下，权重略有修改：
: w_k(\mathbf{x}) = \left( \frac{\max(0,R-d(\mathbf{x},\mathbf{x}_k))}{R d(\mathbf{x},\mathbf{x}_k)} \right)^2.
当与快速空间搜索结构（如k-d树）结合使用时，它即为适用于大尺度问题的高效N log N插值方法。
参见
- 距离衰减
- 核密度估计
参考文献
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