舒尔不等式

舒尔不等式说明，对于所有的非负实数x、y、z和实数t，都有：

:x^t (x-y)(x-z) + y^t (y-z)(y-x) + z^t (z-x)(z-y) \ge 0

当且仅当x = y = z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。

证明
由于不等式是对称的，不失一般性，我们不妨设 x \geq y \geq z。对t分类讨论:
t \geq 0时,
:(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z) \geq 0\,

显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。同理，t 时,
:(y-z)[z^t(x-z)-y^t(x-y)]+x^t(x-y)(x-z) \geq 0\,
证毕。

推广
舒尔不等式有一个推广：

假设a、b、c是正的实数。如果（a，b，c）和（x，y，z）是同序的，则以下的不等式成立：

:a (x-y)(x-z) + b (y-z)(y-x) + c (z-x)(z-y) \ge 0.

2007年，罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式：

考虑a,b,c,x,y,z \in \mathbb{R}，其中a \geq b \geq c，而且x \geq y \geq z或z \geq y \geq x。设k \in \mathbb{Z}^{+}，并设f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}或者是凸函数，或者是单调函数。那么：

: {f(x)(a-b)^k(a-c)^k+f(y)(b-a)^k(b-c)^k+f(z)(c-a)^k(c-b)^k \geq 0}.\,

当x = a、y = b、z = c、k = 1、f(m) = mt时，即化为舒尔不等式。

参考文献